АНАЛИТ

4.3.4. Эллипсоид

Определение 39. Эллипсоидом называется множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением

(88)

Из уравнения сразу следуют такие свойства эллипсоида:

а  х  а, b  у  b, с  z  с. Следовательно, эллипсоид лежит внутри прямоугольного параллелепипеда, симметричного относительно координатных плоскостей, длины рёбер которого равны 2а, 2b, 2с;
Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

Исследуем форму эллипсоида.

Если поверхность задана уравнением, то исследование её формы часто бывает удобно проводить методом сечений. Для этого исследуемую поверхность пересекают различными плоскостями, проще всего координатными и параллельными координатным.

I. Пересечём эллипсоид плоскостью, параллельной (ХОУ), её уравнение z = h. Уравнения сечения будут ()

Возможны случаи:

1) с  h  с. В этом случае система () определяет эллипс в плоскости z = h. Полуоси эллипса равны аи b. Наибольшие полуоси получаются при h = 0, т.е. в плоскости (ХОУ). При h   с полуоси стремятся к нулю, т.е. эллипс стягивается в точку.

2) h =  с. В каждой из этих плоскостей система () определяет точку, т.е. плоскости z =  с пересекают эллипсоид в одной точке каждая (рис.84).

Рис. 84

3) h  с или h  с. В этом случае система () определяет пустое множество точек, т.е. плоскости z = h при указанных h не пересекают эллипсоид.

II. При пересечении эллипсоида плоскостями, параллельными (ХОZ) и (УОZ) получим аналогичные результаты. Проведите эти исследования самостоятельно.

Содержание