Свойства дельта-функции
Фильтрующее свойство дельта-функции
Доказательство этого свойства тривиально. Достаточно использовать подстановку
.
Дельта-функция со сложным аргументом
Определим значение следующего выражения
.
Для этого воспользуемся подстановкой , где функция обратная . В результате получим
П усть монотонно возрастает на интервале и имеет на этом интервале единственный корень в точке . Т.е. . При этом . В этом случае согласно фильтрующему свойству
.
Если - монотонно убывающая функция, то, во-первых, и во-вторых т.е. нижний предел интегрирования в полученном интеграле больше верхнего. В то же самое время в определении дельта-функции верхний предел интегрирования больше нижнего. С учётом этого после элементарных преобразований получим
.
Очевидно, что последнее выражение справедливо как для случая монотонно убывающей, так и для случая монотонно возрастающёй функции .
Сравнивая полученное выражение с выражением для фильтрующего свойства, можно получить, что
,
где корень функции на интервале .
Если функция имеет не один, а счетное число корней, то интервал интегрирования разобьем на ряд интервалов таких, что на каждом из них функция имеет всего один корень . Выполнив для каждого интервала выкладки, приведенные выше, получим
,
где - корень уравнения
Наглядно дельта-функция сложного аргумента показана на рисунке 0 -2.
Рисунок 0‑2 – Дельта-функция сложного агрумента
Примеры
Рассмотрим несколько примеров. Первый – дельта-функция от линейной функции
,
где c – константа.
Второй пример - дельта функция от . Корни функции равны , производная равна . С учётом этого получим
.
И последний пример, дельта-функция от . Функции имеет два корня 1 и –1, а производная равна 2x. В итоге имеем
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Основные понятия курса. Оптическая и неоптическая голография
- Что такое изображение
- Методы восстановления изображений
- Методы реконструкции изображений
- Другие методы цифровой обработки изображений
- Оптическая голография. Регистрация интерференционной картины.
- Оптическая схема получения голограммы.
- Неоптическая голография
- Математический аппарат решения задач восстановления и реконструкции изображений
- Дельта-функция
- Свойства дельта-функции
- Преобразование Фурье. Теорема о свёртке
- Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы
- Прямые и обратные задачи. Уравнение Фредгольма
- Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
- Корректность решения обратной задачи. Существования решения
- Единственность решения на примере уравнения типа свертки
- Устойчивость решения
- Регуляризация решени обратных задач
- Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова
- Регуляризация решения уравнения типа свертки
- Фильтр Тихонова. Невязка
- Оптимальный фильтр Винера
- Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта
- Гомоморфная фильтрация
- Метод неопределенных коэффициентов
- Пример решения обратной задачи
- Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта
- Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта. Учет граничных условий
- Разрешающая способность систем формирования изображений
- Понятие о разрешающей способности
- Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра
- Представление Релея для монохроматических волн
- Представление Релея для немонохроматических волн
- Двойной физический смысл пространственной частоты
- Частотная характеристика свободного пространства
- Угловой спектр сферической волны
- Импульсный отклик свободного пространства
- Восстановление радиоголографических изображений
- Алгоритм восстановления изображений в частотной области
- Восстановление изображений в приближении Френеля
- Азимутальное разрешение радиоголографической системы
- Синтез апертуры сканированием одной антенной
- Синтез апертуры сканирования двумя антеннами
- Синтез радиоголограмм динамических объектов
- Разрешающая способность в радиальном направлении
- Многочастотная голография
- Основы томографии
- Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением
- Преобразование Радона
- Преобразование Радона точечного объекта
- Теорема о центральном сечении
- Обратное преобразование Радона
- Алгоритм обратного проецирования
- Вычисление обратного преобразования Радона
- Итерационные алгоритмы решения обратных задач
- Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач
- Итерационные алгоритмы с ограничениями
- Итерационное уравнение
- Ряд Неймана
- Итерационный оператор для уравнения типа свертки