Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач

Итерационными методами восстановления изображений называют такие методы решения обратных задач, в которых по известному приближенному решению находится решение следующего более точного приближения. Т.е. если S_k –некоторое приближенное решение, то S_k+1 = R [S_k] следующее решение, более точное, чем предыдущее.

Итерационные методы решения обратных задач имеют ряд преимуществ по сравнению с методами линейной фильтрации и методом неопределенных коэффициентов.

Во-первых, итерационные методы могут быть использованы для нахождения решений любых интегральных уравнений независимо от вида ядра.

Во-вторых, при использовании итерационных алгоритмов достаточно легко учитывать известные априорно свойства определяемых решений. Например, когда решается задача об обработке изображения решение не может быть отрицательным. Однако при использовании методов линейной фильтрации учесть это свойство решения невозможно. В то же самое время итерационные алгоритмы позволяют учитывать подобную информацию.

В-третьих, в итерационном алгоритме достаточно просто осуществить регуляризацию решения. С одной стороны регуляризация решения может быть осуществлена путем выбора соответствующего итерационного оператора, в этом случае наблюдается аналогия с линейными методами восстановления. С другой стороны – регуляризация осуществляется путем ограничения числа итераций.

В-четвертых, при использовании итерационных алгоритмов нет необходимости определять вид обратного оператора, что в ряде случаев имеет большое значение.

Существенным недостатком итерационных алгоритмов является их вычислительная сложность.

Определим свойства итерационного оператора. Очевидно, что каждое последующее применение итерационного оператора должно давать более точное решение. В пределе, когда число итераций стремится к бесконечности, приближенное решение должно стремиться к точному, т.е. если S – точное решение, а {S_k} – множество приближенных решений, то S_k  S при k  , где S_k = R [S_k-1], а R – итерационный оператор. Очевидно, что R [S] = S.

В функциональном анализе введено понятие оператора сжатия. Оператором сжатия называется оператор, для которого выполняется следующее соотношение:

, где

Выражение определяет расстояние между функциями . В качестве расстояния могут использоваться различные меры. Так в пространстве (пространство квадратично интегрируемых функций) расстояние между функциями определяется следующим образом:

Покажем, что если итерационный оператор есть оператор сжатия, то S_k  S при k  .

Пусть для определённости i  j. Условимся, что обозначение Rⁱ[s] = s_i будет соответствовать применению i раз итерационного оператора R к сигналу s₀. Тогда можно записать, что

.

Используя неравенство

.

В свою очередь, согласно тому же неравенству

или

Используя преобразование i раз, можно получить, что

.

Величина в неравенстве определяет расстояние между сигналами s₀ и R^j‑i[s₀] = s_j-i. Это расстояние будет заведомо меньше суммы расстояний между промежуточными сигналами, т.е.

.

В свою очередь, согласно для слагаемых левой части этого неравенства можно записать:

Таким образом, неравенство можно записать в виде

,

или, воспользовавшись формулой суммы членов геометрической прогрессии,

.

Подставляя неравенство в соотношение , получим

.

Так как , то при .

Таким образом, при приближенные решения S_i стремятся к некоторому пределу S. При этом применение итерационного оператора к этому пределу не изменяет его, т.е. RS = S. В соответствии с первым свойством итерационного оператора S является точным решением обратной задачи.