Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы
Несмотря на то, что большинство процессов и явлений в окружающем нас мире имеют нелинейный характер, в физике, технике и математике широко используется понятия линейный сигнал, линейная система, линейное преобразование.
Рассмотрим некоторую систему, к входу которой приложено воздействие . На выходе системы формируется отклик (Рисунок 0 -3).
Рисунок 0‑3 – Схематичное обозначение системы
Преобразование, которое выполняет система над воздействием можно обозначить как оператор . В этом случае связь между функциями и задаётся в виде операторного уравнения
.
При этом говорят, что функция формируется в результате воздействия оператора на функцию .
Если для оператора выполняется принцип суперпозиции, то и сам оператор и соответствующая ему система называются линейными. Суть принципа суперпозиции можно выразить при помощи следующего соотношения
,
Импульсный отклик линейной системы
Выразим сигнал на входе рассматриваемой нами линейной системы через - функцию.
Используя полученное выражение для функции , запишем отклик системы
Оператор и операция интегрирования линейны, поэтому мы имеем право поменять их местами. В этом случае
,
или
.
Функция
называется импульсным откликом линейной системы.
Если импульсный отклик линейной системы известен, то вычисление отклика системы на заданное входное воздействие превращается в достаточно простую задачу – вычисление определенного интеграла.
Для сравнения рассмотрим пример, в котором линейная система описывается при помощи линейного интегрально-дифференциального уравнения. В качестве линейной системы возьмем обычную RLC цепочку.
Рисунок 0‑4 – RLC-цепочка как пример линейной системы
Соотношение между входным и выходным сигналами описывается при помощи следующих уравнений.
Пусть входным воздействием является очень короткий импульс напряжения, поступивший в момент времени : . Решая уравнения , можно получить, что выходной сигнал в этом случае будет описываться выражением
, где
Таким образом, выходной сигнал системы при подаче произвольного входного сигнала будет определяться как
.
Наглядное представление преобразования сигналов RLC-цепочкой показано на следующем рисунке:
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Основные понятия курса. Оптическая и неоптическая голография
- Что такое изображение
- Методы восстановления изображений
- Методы реконструкции изображений
- Другие методы цифровой обработки изображений
- Оптическая голография. Регистрация интерференционной картины.
- Оптическая схема получения голограммы.
- Неоптическая голография
- Математический аппарат решения задач восстановления и реконструкции изображений
- Дельта-функция
- Свойства дельта-функции
- Преобразование Фурье. Теорема о свёртке
- Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы
- Прямые и обратные задачи. Уравнение Фредгольма
- Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
- Корректность решения обратной задачи. Существования решения
- Единственность решения на примере уравнения типа свертки
- Устойчивость решения
- Регуляризация решени обратных задач
- Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова
- Регуляризация решения уравнения типа свертки
- Фильтр Тихонова. Невязка
- Оптимальный фильтр Винера
- Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта
- Гомоморфная фильтрация
- Метод неопределенных коэффициентов
- Пример решения обратной задачи
- Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта
- Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта. Учет граничных условий
- Разрешающая способность систем формирования изображений
- Понятие о разрешающей способности
- Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра
- Представление Релея для монохроматических волн
- Представление Релея для немонохроматических волн
- Двойной физический смысл пространственной частоты
- Частотная характеристика свободного пространства
- Угловой спектр сферической волны
- Импульсный отклик свободного пространства
- Восстановление радиоголографических изображений
- Алгоритм восстановления изображений в частотной области
- Восстановление изображений в приближении Френеля
- Азимутальное разрешение радиоголографической системы
- Синтез апертуры сканированием одной антенной
- Синтез апертуры сканирования двумя антеннами
- Синтез радиоголограмм динамических объектов
- Разрешающая способность в радиальном направлении
- Многочастотная голография
- Основы томографии
- Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением
- Преобразование Радона
- Преобразование Радона точечного объекта
- Теорема о центральном сечении
- Обратное преобразование Радона
- Алгоритм обратного проецирования
- Вычисление обратного преобразования Радона
- Итерационные алгоритмы решения обратных задач
- Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач
- Итерационные алгоритмы с ограничениями
- Итерационное уравнение
- Ряд Неймана
- Итерационный оператор для уравнения типа свертки