Гомоморфная фильтрация

Фильтр Бейкуса-Гильберта, как и фильтр Тихонова и параметрический фильтр Винера, имеет только один параметр для управления передаточной фильтрацией. Этот параметр

При практической обработке изображений варьирование этим параметром во многих случаях не дает положительных результатов, так как его незначительные изменения могут привести к сильной зашумленности изображения. Это привело к появлению других способов управления частотной характеристикой восстанавливающего фильтра и одним из таких методов является метод гомоморфной фильтрации.

Основная идея гомоморфной фильтрации заключается в определении такого восстанавливающего фильтра, который позволили бы получить заданную спектральную плотность восстановленного изображения.

Для каждого изображения объекта S(x) можно рассчитать спектральную плотность мощности R_S(). Так как S(x) – случайная функция, то R_S() также является случайной функцией. Однако в ряде случаев можно ограничить класс объектов таким образом, что функции R_S() отдельных объектов из этого класса будут близки друг к другу. В этом случае можно ввести усредненную для этого класса объектов спектральную плотность мощности.

Под гомоморфным фильтром понимают фильтр с передаточной функцией, для которой выполняется следующее соотношение:

в предложении, что изображение и шум статистически независимые, стационарные случайные процессы.

Для определения передаточной функции Y() раскроем это выражение:

Так как S() и N() статистически независимые случайные процессы то

.

Кроме этого

,

.

Используя эти соотношения, получим

.

или

.

Решим это уравнение относительно Y(). В результате имеем

.

Фильтр с такой характеристикой представляет собой среднегеометрическое между фильтром Винера и инверсным фильтром в случае если H() – действительная функция

Как дальнейшее развитие гомоморфного среднегеометрического фильтра был предложен так называемый управляемый эволюционный фильтр с передаточной функцией следующего вида

Этот фильтр охватывает все случаи фильтрации, рассмотренные нами. Так при  = 1,  = 0 мы получаем инверсный фильтр, при  = 0,  = 1 – фильтр Винера или фильтр Тихонова (в зависимости от вида функции ), при  = ½,  = ½ - гомоморфный, среднеквадратичный фильтр.