Преобразование Радона

Пусть на плоскости задана система координат (x, y) и функция f(x, y). Проинтегрируем эту функцию вдоль некоторой прямой L, заданной следующим соотношением

,

где s - расстояние от начала координат до линии, вдоль которой осуществляется интегрирование,  - угол между осью ОХ и перпендикуляром к направлению интегрирования (pис. 1)

Результатом интегрирования является функция

.

Выражение это интегральное преобразование, которое называется преобразованием Радона. Функцию для фиксированного угла называют проекцией.

Существует несколько форм записи преобразования Радона. Одна из них представлена выражением . Преобразуем это выражение. Для этого введем систему координат, повернутую относительно исходной на угол  (рис.2), и запишем интеграл для в новой системе координат.

При повороте системы координат координаты преобразуются следующим образом:

Коэффициенты Ламэ при таком преобразовании равны 1 и, следовательно, элемент площади

Подставив полученные выражения в соотношение , получим

.

После интегрирования (используя фильтрующее свойство дельта-функции) получим другую форму представления преобразования Радона:

.

Рассмотрим основные свойства преобразования Радона.

Преобразование Радона линейно.

Доказательство. Представим функцию в виде взвешенной суммы функций :

.

Подставим последнее соотношение в выражение . В результате получим

Поменяем местами операции интегрирования и суммирования в полученном выражении:

,

где

– преобразование Радона функции .

Преобразование Радона периодично по  с периодом 2, то есть

.

Как и в предыдущем случае доказательство тривиально:

.

В силу периодичности функций и получим искомое соотношение.

Преобразование Радона симметрично относительно разворота, т.е. для преобразования Радона выполняется следующее соотношение

.

Для доказательства воспользуемся соотношением

Так как то

.

Из этого свойства следует, что преобразование Радона можно определить для одного из двух интервалов:

, и .