Восстановление изображений в приближении Френеля

Изображение – свертка поля и импульсного отклика

Обратимся опять к задаче нахождения поля в одном сечении волны по известным значениям поля в другом сечении. Условия задачи остаются теми же: пусть распределение поля задано в плоскости z = 0. Требуется найти распределение поля в некотором сечении z, расположенном далее по направлению распространения волны.

Воспользуемся фильтрующим свойством дельта-функции и представим известное распределение в виде интеграла:

.

Подынтегральное выражение в представляет собой «импульсное» распределение поля, пик которого расположен в точке (x’, y’):

.

Для любого из таких распределений в сечении z = 0 искомое поле в сечении z будет определяться импульсным откликом свободного пространства. То, что единичное распределение умножено на некий масштабный коэффициент, определяемый значением поля в точке (x’, y’), в данном случае приведет к тому, что результирующее поле в сечении z также будет умножено на этот коэффициент (по сравнению с распределением поля вида ). Это непосредственно следует из линейности системы.

Таким образом, выражение для искомого поля в сечении z можно записать как

.

В силу принципа суперпозиции искомое поле в сечении z можно представить как сумму полей, сформированных «импульсными» распределениями вида

,

или окончательно

.

Выражение представляет собой математическую конструкцию, называемую сверткой. Таким образом, можно сделать вывод, что искомое распределение поля в сечении z представляет собой свертку известного распределения поля в сечении z = 0 и импульсного отклика свободного пространства длины z.

При восстановлении изображений необходимо решить обратную задачу – по известному распределению поля в сечении z необходимо рассчитать распределение поля в сечении z = 0. Обращение свертки вида в общем случае затруднительно; однако задача обращения упрощается с использованием приближения Френеля.

Решение задачи в приближении Френеля

Напомним, что в приближении Френеля импульсный отклик свободного пространства пропорционален спектру сферической волны. В этом случае импульсный отклик свободно пространства записывается в виде

,

где .

Выше уже упоминалось о том, что такой вид импульсного отклика свободного пространства соответствует принципу Гюйгенса-Френеля для распространения волн.

Используя приближенное равенство , обусловленное приближением Френеля, выражение для импульсного отклика можно представить в виде

.

Разложим выражение для R в ряд Тейлора и воспользуемся первыми двумя членами этого ряда (это допустимо с учетом приближения Френеля):

.

Запишем выражение для поля в плоскости апертуры с учетом выражений и , полученных с использованием приближения Френеля:

,

где .

После преобразований можно получить, что

.

Выражение связывает при помощи интеграла свертки значения поля в плоскости апертуры и на поверхности объекта, и носит название интеграла Френеля. В этом выражении множитель , стоящий перед знаком интеграла, определяется только конфигурацией эксперимента и не зависит от распределений поля. При нормировке восстанавливаемого изображения он не сказывается.

Получить значение распределения поля можно, вычислив преобразование, обратное :

,

Таким образом, для восстановления изображения, основываясь на импульсном отклике свободного пространства в приближении Френеля, необходимо выполнить следующее:

• измерить распределение поля в плоскости апертуры

• вычислить значение поля на поверхности объекта согласно выражению

• определить функцию объекта как абсолютное значение вычисленного распределения поля на поверхности объекта

Блок схема алгоритма представлена на рисунке 10.

Рисунок 0.10 – Алгоритм восстановления изображения, основанный на импульсном отклике свободного пространства

На рисунке символом обозначено обратное преобразование, вычисляемое согласно .

При реализации алгоритма задача дискретизируется так же, как и при восстановлении в частотной области. При этом следует отметить, что жесткой связи между размерами и дискретностью плоскостей апертуры и объекта, как это было при восстановлении в частотной области, нет. Таким образом, восстанавливаемое изображение может иметь размеры и/или число точек, отличное от соответствующих параметров плоскости апертуры.

Несмотря на визуальную простоту данного алгоритма по сравнению с алгоритмом восстановления изображений в частотной области, вычислительная сложность при восстановлении с использованием импульсного отклика значительно выше. Это связано с тем, что при расчете обратного преобразования для вычисления каждого значения необходимо рассчитать значение двойного интеграла в пространственной области.

Если при дискретизации задачи плоскость апертуры и плоскость объекта состоят из N точек, то результирующая вычислительная сложность алгоритма окажется порядка N² операций; в то время как восстановление в частотной области с использованием быстрого преобразования Фурье обеспечивает сложность в N∙log N операций.

Зона Френеля, дальняя зона

Алгоритм восстановления изображений с использованием импульсного отклика свободного пространства использует приближение Френеля. Эти приближения ограничивают плоскость апертуры так называемой зоной Френеля. Выше было показано, что в этой зоне поле, формируемое некоторым единичным распределением комплексной амплитуды, может быть описано сферической волной.

Для того, чтобы плоскость апертуры находилась в зоне Френеля, необходимо выполнение двух условий:

1. Расстояние от плоскости объекта (источника отраженного сигнала) до плоскости апертуры должно быть много больше длины волны.

2. Размеры плоскости апертуры должны быть малыми по сравнению с расстоянием до нее.

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий (с учетом точности приближения Френеля, требуемой конкретной задачей), говорят, что плоскость апертуры находится в ближней зоне. В этом случае приближение Френеля некорректно, и алгоритмы восстановления, основанные на этом приближении, будут давать неверные результаты.

Дальней зоной называют область, в которой волну, создаваемую точечным источником (или единичным распределением поля), можно считать плоской. Переход из зоны Френеля в дальнюю зону может осуществляется как отдалением плоскости апертуры от источника отраженной волны, так и уменьшением размеров самой апертуры. В дальней зоне информация о фазе отраженной волны теряется, и восстановление изображения отраженного объекта усложняется.