Единственность решения на примере уравнения типа свертки
Для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с разностным ядром справедливо следующее соотношение
где - спектр исходных данных, - спектр решения, а - частотная характеристика линейной системы.
Пусть частотная характеристика линейной системы в интервале частот тождественно равна 0. Сконструируем функцию таким образом, что бы её спектр был отличен от 0 только на интервале
Пусть на вход рассматриваемой нами линейной системы поступает сумма сигналов и . В этом случае спектр сигнала на выходе системы будет определяться следующим соотношением
В силу условий наложенных нами на функции и второе слагаемое в этом выражении тождественно равно 0. Откуда следует что
Поскольку сигнал выбирался произвольным образом, за исключение ограничений наложенных на его спектр, то можно утверждать следующее:
Существует бесконечное множество входных воздействий, которые будучи поданы на вход линейной системы приведут к появлении на её выходе одного и того же отклика.
Таким образом, решение обратной задачи не является единственным, так как к полученному решению мы можем прибавить произвольную функцию, спектр которой удовлетворяет приведенным выше условиям. Выбрать одно решения из полученного бесконечного множества решений можно только при наличии дополнительной априорной информации.
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Основные понятия курса. Оптическая и неоптическая голография
- Что такое изображение
- Методы восстановления изображений
- Методы реконструкции изображений
- Другие методы цифровой обработки изображений
- Оптическая голография. Регистрация интерференционной картины.
- Оптическая схема получения голограммы.
- Неоптическая голография
- Математический аппарат решения задач восстановления и реконструкции изображений
- Дельта-функция
- Свойства дельта-функции
- Преобразование Фурье. Теорема о свёртке
- Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы
- Прямые и обратные задачи. Уравнение Фредгольма
- Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
- Корректность решения обратной задачи. Существования решения
- Единственность решения на примере уравнения типа свертки
- Устойчивость решения
- Регуляризация решени обратных задач
- Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова
- Регуляризация решения уравнения типа свертки
- Фильтр Тихонова. Невязка
- Оптимальный фильтр Винера
- Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта
- Гомоморфная фильтрация
- Метод неопределенных коэффициентов
- Пример решения обратной задачи
- Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта
- Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта. Учет граничных условий
- Разрешающая способность систем формирования изображений
- Понятие о разрешающей способности
- Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра
- Представление Релея для монохроматических волн
- Представление Релея для немонохроматических волн
- Двойной физический смысл пространственной частоты
- Частотная характеристика свободного пространства
- Угловой спектр сферической волны
- Импульсный отклик свободного пространства
- Восстановление радиоголографических изображений
- Алгоритм восстановления изображений в частотной области
- Восстановление изображений в приближении Френеля
- Азимутальное разрешение радиоголографической системы
- Синтез апертуры сканированием одной антенной
- Синтез апертуры сканирования двумя антеннами
- Синтез радиоголограмм динамических объектов
- Разрешающая способность в радиальном направлении
- Многочастотная голография
- Основы томографии
- Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением
- Преобразование Радона
- Преобразование Радона точечного объекта
- Теорема о центральном сечении
- Обратное преобразование Радона
- Алгоритм обратного проецирования
- Вычисление обратного преобразования Радона
- Итерационные алгоритмы решения обратных задач
- Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач
- Итерационные алгоритмы с ограничениями
- Итерационное уравнение
- Ряд Неймана
- Итерационный оператор для уравнения типа свертки