Преобразование Фурье. Теорема о свёртке

Преобразование Фурье – одно из наиболее часто используемых интегральных преобразований. По определению интегральное преобразование вида

называется интегральным преобразованием Фурье функции .

Для существования интегрального преобразования Фурье функция должна удовлетворять определённым условиям, которые называются условиями Дирихле. Условия Дирихле требуют, что бы функция была квадратично интегрируемой, имела конечное число разрывов первого рода и не имела разрывов второго рода. Это достаточно жёсткие условия. На практике они часто не соблюдаются и класс функций, для которых вычисляется преобразование Фурье, значительно шире класса функций, определяемого этими условиями.

Преобразование Фурье обратимо. Интегральное преобразование вида

называется обратным преобразованием Фурье. Коэффициент , стоящий перед интегралом в этом выражении, является нормирующим коэффициентом. Он обеспечивает сохранение энергии при последовательном выполнении прямого и обратного преобразований Фурье.

Теорема о свёртке

Сверткой функций и называется функция

Пусть для функций , и существуют преобразования Фурье соответственно функции , и . Тогда

.

Т.е. спектр свёртки равен произведению спектров сворачиваемых функций.

Докажем эту теорему. По определению преобразования Фурье

.

Подставим вместо выражение этой функции через свёртку функций и . В результате получим

.

Преобразуем это выражение.

Так как пределы интегрирования бесконечны, можно разделить двойной интеграл в правой части этого выражения на два независимых интеграла. В результате получим то, что и требовалось доказать

.