Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с симметричным ядром

где

Симметричность ядра интегрального уравнения гарантирует существование его собственных функций, их ортогональность и действительность собственных значений.

Будем считать, что множество собственных функций не только ортогонально, но и нормировано, т.е.

, где

Представим функции и в виде рядов по функциям :

, где

и

,

Подставив выражения для и в интегральное уравнение, получим:

и

Так как

То

Так как функции ортогональные, то . Отсюда следует, что а

В силу теоремы Пикара, для сходимости этого ряда необходимо, чтобы

В общем случае функция При этом

Первая сумма этого соотношения является точным решением интегрального уравнения. Вторая сумма – представляет собой шум в решении, обусловленной ошибкой исходных данных. Оценим уровень этого шума, для чего определим дисперсию решения

Так как множество функций ортонормированно то

Оценим величину E [n_i²]. Для этого подставим n_i в явном виде:

Или

Используя соотношение

получим

Подставив (2.17) в (2.14) получим

Известно, что собственные значения _i убывают с увеличением i и при i     . В силу этого сумма в выражении для _S² неограниченно вырастает, т.е. мы получаем неустойчивое решение. Встает вопрос о его регуляризации.

При использовании данного метода восстановления изображения регуляризация оказывается достаточно "простой" и сводится к ограничению числа членов ряда для некоторой величиной N. В этом случае решение

При этом возникает ошибка, обусловленная неточность восстановления. Эта ошибка

Однако при этом ограничивается ошибка, вызванная неточностью или шумом исходных данных.

Недостатком этого алгоритма является то, что в большинстве случаев определение собственных функций интегрального уравнения само по себе представляет достаточно сложную задачу.