Устойчивость решения

Рассмотрим последнее условие, определяющее корректность обратной задачи. Это условие устойчивости решения. Вопрос об устойчивости решения возникает в связи с тем, что правая часть уравнения Фредгольма (функция ), которая представляет собой исходные данные для получения решения, никогда не известна точно. Ошибка в определении исходных данных вызвана целым рядом причин. Основными из них являются шумы, возникающие при формировании функции и ограниченная точность измерения этой функции.

В наиболее простом случае правую часть уравнения Фредгольма можно представить в виде суммы двух функций: функции , представляющей точное значение отклика системы и функции , описывающей шум, т.е. используя операторное представление можно записать

В случае, когда шум отсутствует, то есть , решение этого уравнения находится с помощью обратного оператора такого, что

Применение обратного оператора к зашумленным исходным данным естественно приведёт к появлению шума в решении. Причем поскольку оператор L^-1[] – линейный, а функция является аддитивной смесью точного отклика и шума , то и решение будет суммой точного решения и шума , т.е.

Естественно возникает вопрос об отношении сигнал/шум в полученном решении и зависимости этого отношения от отношения сигнал/шум в исходных данных. Связь между соотношением сигнал/шум в исходных данных и соотношением сигнал/шум в решении определяет устойчивость решения обратной задачи. Если ограниченным значениям отношения сигнал/шум в исходных данных соответствуют ограниченные значения отношения сигнал/шум в решении, то решение является устойчивым. В противном случае решение неустойчиво.

Можно строго доказать, используя теорию интегральных уравнений, что в общем случае при решении уравнений Фредгольма сколь угодно малые значения уровня шума в исходных данных, т.е. значения функции n(x), могут привести к появлению неограниченно большого шума в решении, т.е. могут привести к неограниченному росту функции m(x). Таким образом в общем случае решение уравнения Фредгольма неустойчиво.

Неустойчивость решения обратных задач очень четко просматривается при решении интегральных уравнений типа свертки. Пусть

.

Используя теорему о свертке, запишем

.

Решение интегрального уравнения

.

Интеграл в правой части этого выражения представляет собой случайную ошибку решения. Энергия этой ошибки (дисперсия шума в решении задачи)

Для любых реальных приборов и систем передаточная функция при . Поведение функции согласовано с поведением функции , т.е. в точках, где функция также равна 0.

Функция с функцией не согласована и поэтому, в точках или областях, где подынтегральное выражение стремится к бесконечности, что приводит к расхождению рассматриваемого нами интеграла, и как следствие – к неустойчивости решения.