Фильтр Тихонова. Невязка

Для выбора способа и параметров регуляризации крайне важно наличие априорной информации. В том случае, когда о поведении решения нам ничего не известно, в качестве такой априорной информации можно использовать сведения о точности исходных данных. При этом под точностью исходных данных необходимо понимать как точность измерения, так и уровень шумов на выходе системы. Эти данные практически всегда имеются

Обратный оператор, построенный с использованием такой априорной информации, называется фильтром Тихонова. Как строится такой обратный оператор или, по-другому, как выбирается стабилизирующий коэффициент для этого обратного оператора?

Определение этого коэффициента основано на следующем. Воздействуем приближённым оператором на исходные данные . В результате получим приближённое решение

.

Если бы было известно точное решение , то сравнив его с приближённым решением мы могли бы судить о качестве приближённого оператора. Однако точное решение неизвестно и поэтому необходим некий косвенный метод оценки.

Воздействуем на полученное приближённое решение точным прямым оператором L[ ]. Получим некоторую функцию

.

Эта функция по смыслу аналогична исходным данным. В том случае, когда шум в исходных данных отсутствует, приближённый оператор совпадает с точным обратным оператором, а функция совпадает с исходными данными . Таким образом различие между этими функциями можно использовать для оценки качества приближённого оператора.

Введём функцию

.

и назовём её невязкой. Очевидно, что невязка равна нулю, если приближённый оператор равен точному оператору.

Пусть дисперсия шума в исходных данных равна ². Тогда логично потребовать, что бы дисперсия ошибки, вызванной применением приближённого оператора, также была равна ² . То есть

.

Из этого уравнения можно определить величину .

Это условие выбрано из следующих соображений. Если потребовать, чтобы Ф()=0, то оператор будет являться точным обратным оператором, а =0, и мы получим неустойчивое решение. Если допустить, что Ф() много больше ² то ошибка, связанная с неточностью решения будет больше ошибки вызванной шумом. Поэтому применяют компромиссное решение, которое предполагает равный вклад ошибок в получаемое решение.

Для того чтобы функцию Ф(), т.е. невязку, можно было использовать для определения оптимального значения необходимо доказать, что уравнение Ф() = ² имеет однозначное решение. В противном случае для одного и того же значения ² может быть несколько значений  и встанет задача о выборе оптимального значения из них.

Для того, чтобы доказать единственность решения этого уравнения достаточно доказать, что Ф() есть монотонно возрастающая функция  .

Используя тот факт, что энергия функции равна энергии ее спектральных составляющих запишем:

.

Так как

то

.

Первая производная

Так как и  и подынтегральное выражение всегда больше 0, то

Таким образом мы показали, что Ф() монотонно возрастающая функция и в силу этого решения уравнения Ф() = ² имеет единственное решение.

На практике часто значение  определяют следующим образом. Задают ряд значений _k, для каждого из них рассчитывают Ф(_k) и в качестве рабочего значения  принимают то, для которого разность Ф(_k) - ² – минимальна.