Ряд Неймана

Одним из достоинств итерационных алгоритмов является то, что при их использовании нет необходимости определять оператор, обратный оператору прямой задачи. Это свойство итерационных алгоритмов является весьма существенным, так как определение обратного оператора для уравнений с неразностным ядром представляет достаточно сложную и не всегда разрешимую задачу.

Однако, представив решение задачи в виде итерационного процесса, достаточно просто представить обратный оператор в виде разложения в ряд оператора прямой задачи. Такой ряд называется рядом Неймана.

Мы говорили, что при использовании итерационного оператора последовательность приближенных решений можно представить в следующем виде:

где оператор

Допустим, что при оператор является оператором сжатия. Запишем последовательность приближенных решений для случая, когда начальное приближение S₀ = f. Получим следующий ряд:

Или

,

где означает последовательное применение k раз оператора к функции f, а .

Так как при , т.е. последовательность приближенных решений стремиться к точному решению), то

,

Так как

,

есть решение обратной задачи, то на основании выражений и запишем для обратного оператора следующее соотношение

,

Ряд в правой части данного равенства называется рядом Неймана.

Данное соотношение получено при одном единственном условии, которое заключается в том, что оператор должен быть оператором сжатия. Поэтому разложение обратного оператора в ряд Неймана применимо к любому интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода независимо от типа его ядра.