Корректность решения обратной задачи. Существования решения

- Существует решение задачи.

- Решение является единственным.

- Решение является устойчивым.

В общем случае ни одно из этих условий для обратных задач не выполняется.

Начнем с первого условия, т.е. покажем, что в общем случае решение обратной задачи не существует. При этом надо понимать, что под решением подразумевается точное решение.

В общем случае входное воздействие и отклик линейной системы связаны между собой уравнением Фредгольма.

Пусть импульсный отклик системы представляет собой гладкую функцию по переменной , а функция

,

где - точные исходные данные, а - шум.

В общем случае функция не является гладкой, так как шум является случайной функцией. Таким образом, если вернуться к уравнению мы имеем в левой части разрывную функцию переменной , а в правой части гладкую функцию этой же переменной. Так как функция , входящая в подынтегральное выражение, от переменной не зависит, то изменить это соотношение путем выбора решения не возможно. Т.е. точного решения задачи в общем случае не существует.