Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
Запишем уравнение Фредгольма 1-го рода с разностным ядром.
Очевидно, что по форме записи это уравнение является свёрткой функций и . Применим к этому уравнению теорему о свёртке и запишем
где , и спектры, соответственно, функций , и .
В уравнении (10.1) неизвестной функцией является функция . Из уравнения (10.2) легко определяется спектр этой функции
.
Выполнив обратное преобразование Фурье, найдём решение
.
Функция в теории линейных систем называется частотной характеристикой. Частотная характеристика и импульсный отклик связаны между собой преобразованием Фурье. Т.е.
.
И в свою очередь
Последнее выражение даёт способ экспериментального определения импульсного отклика той или иной реально существующей линейной системы.
По определению импульсный отклик это реакция системы на входное воздействие в виде дельта-функции. Следуя этому определению для оценки импульсного отклика системы необходимо на её вход подать очень короткий импульс высокого напряжения или тока и измерить зависимость выходного сигнала от времени. Причём, для сохранения энергии импульса с уменьшением его длительности необходимо увеличивать величину напряжения или тока.
При этом возникают две проблемы. Первая, на практике можно сформировать импульс только конечной длительности, в то время как теоретически необходимо устремить длительность импульса к нулю. Вторая проблема заключается в том, что при высоком уровне входного сигнала, а он необходим для сохранения энергии импульса, входные цепи исследуемой системы могут быть просто разрушены.
Другой способ определения импульсного отклика основан на измерении частотной характеристики линейной системы и последующем расчёте с использованием выражения . Для измерения частотной характеристики необходимо на вход исследуемой системы подать гармоническое колебание и определить зависимость амплитуды сигнала на выходе системы от частоты входного сигнала.
Этот способ тоже не лишён недостатков, однако его реализация значительно проще, чем первого. Кроме этого этот способ применим только к системам инвариантным к сдвигу – т.е. к системам, которые описываются уравнением Фредгольма 1-го рода с разностным ядром.
Обратная задача называется корректно поставленной, если выполняются следующие условия.
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Основные понятия курса. Оптическая и неоптическая голография
- Что такое изображение
- Методы восстановления изображений
- Методы реконструкции изображений
- Другие методы цифровой обработки изображений
- Оптическая голография. Регистрация интерференционной картины.
- Оптическая схема получения голограммы.
- Неоптическая голография
- Математический аппарат решения задач восстановления и реконструкции изображений
- Дельта-функция
- Свойства дельта-функции
- Преобразование Фурье. Теорема о свёртке
- Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы
- Прямые и обратные задачи. Уравнение Фредгольма
- Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
- Корректность решения обратной задачи. Существования решения
- Единственность решения на примере уравнения типа свертки
- Устойчивость решения
- Регуляризация решени обратных задач
- Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова
- Регуляризация решения уравнения типа свертки
- Фильтр Тихонова. Невязка
- Оптимальный фильтр Винера
- Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта
- Гомоморфная фильтрация
- Метод неопределенных коэффициентов
- Пример решения обратной задачи
- Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта
- Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта. Учет граничных условий
- Разрешающая способность систем формирования изображений
- Понятие о разрешающей способности
- Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра
- Представление Релея для монохроматических волн
- Представление Релея для немонохроматических волн
- Двойной физический смысл пространственной частоты
- Частотная характеристика свободного пространства
- Угловой спектр сферической волны
- Импульсный отклик свободного пространства
- Восстановление радиоголографических изображений
- Алгоритм восстановления изображений в частотной области
- Восстановление изображений в приближении Френеля
- Азимутальное разрешение радиоголографической системы
- Синтез апертуры сканированием одной антенной
- Синтез апертуры сканирования двумя антеннами
- Синтез радиоголограмм динамических объектов
- Разрешающая способность в радиальном направлении
- Многочастотная голография
- Основы томографии
- Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением
- Преобразование Радона
- Преобразование Радона точечного объекта
- Теорема о центральном сечении
- Обратное преобразование Радона
- Алгоритм обратного проецирования
- Вычисление обратного преобразования Радона
- Итерационные алгоритмы решения обратных задач
- Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач
- Итерационные алгоритмы с ограничениями
- Итерационное уравнение
- Ряд Неймана
- Итерационный оператор для уравнения типа свертки