Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова
Регуляризация решения обратных задач выполняется для преодоления неустойчивости решения. Общим подходом регуляризации является поиск заведомо неточного решения задачи; но отличие этого решения от точного не превышает некоторой заданной величины, определяемой погрешностью исходных данных.
Наиболее распространенным методом регуляризации решения обратных задач является метод регуляризации, предложенный А. Н. Тихоновым. Пусть мы имеем линейную систему, описываемую оператором , т.е. выходной сигнал системы f связан с входным s следующим выражением:
.
Нам необходимо решить обратную задачу, исходными данными для которой является выходной сигнал системы , отличающийся от точного выходного сигнала f на величину , т.е. . Согласно методу регуляризации Тихонова, с приближенными исходными данными можно получить приближенное решение при помощи обратного оператора , зависящего от параметра . Величину называют параметром, или коэффициентом, регуляризации.
При этом значения параметра нужно выбирать согласованным с погрешностью исходных данных; согласованность должна быть такой, чтобы при , где s – точное решение обратной задачи при исходных данных f.
Оператор , используемый при решении обратной задачи, должен удовлетворять следующим свойствам:
- должен быть определен для любого положительного числа и для любого возможного выходного сигнала
- должна существовать такая функция , и для любого положительного числа должно существовать такое число , что если , то и , где – регуляризованное решение.
Нетрудно видеть, что величина представляет собой погрешность решения.
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Основные понятия курса. Оптическая и неоптическая голография
- Что такое изображение
- Методы восстановления изображений
- Методы реконструкции изображений
- Другие методы цифровой обработки изображений
- Оптическая голография. Регистрация интерференционной картины.
- Оптическая схема получения голограммы.
- Неоптическая голография
- Математический аппарат решения задач восстановления и реконструкции изображений
- Дельта-функция
- Свойства дельта-функции
- Преобразование Фурье. Теорема о свёртке
- Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы
- Прямые и обратные задачи. Уравнение Фредгольма
- Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
- Корректность решения обратной задачи. Существования решения
- Единственность решения на примере уравнения типа свертки
- Устойчивость решения
- Регуляризация решени обратных задач
- Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова
- Регуляризация решения уравнения типа свертки
- Фильтр Тихонова. Невязка
- Оптимальный фильтр Винера
- Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта
- Гомоморфная фильтрация
- Метод неопределенных коэффициентов
- Пример решения обратной задачи
- Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта
- Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта. Учет граничных условий
- Разрешающая способность систем формирования изображений
- Понятие о разрешающей способности
- Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра
- Представление Релея для монохроматических волн
- Представление Релея для немонохроматических волн
- Двойной физический смысл пространственной частоты
- Частотная характеристика свободного пространства
- Угловой спектр сферической волны
- Импульсный отклик свободного пространства
- Восстановление радиоголографических изображений
- Алгоритм восстановления изображений в частотной области
- Восстановление изображений в приближении Френеля
- Азимутальное разрешение радиоголографической системы
- Синтез апертуры сканированием одной антенной
- Синтез апертуры сканирования двумя антеннами
- Синтез радиоголограмм динамических объектов
- Разрешающая способность в радиальном направлении
- Многочастотная голография
- Основы томографии
- Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением
- Преобразование Радона
- Преобразование Радона точечного объекта
- Теорема о центральном сечении
- Обратное преобразование Радона
- Алгоритм обратного проецирования
- Вычисление обратного преобразования Радона
- Итерационные алгоритмы решения обратных задач
- Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач
- Итерационные алгоритмы с ограничениями
- Итерационное уравнение
- Ряд Неймана
- Итерационный оператор для уравнения типа свертки