Дельта-функция

Вытекающее из классической математики представление о непрерывной среде или непрерывном поле долгое время являлось тормозом при формулировке принципов математической физики. Классическая математика не в состоянии описать такие объекты как точечная масса, точечный заряд, точечный отражатель, точечный источник и другие подобные им, которые широко используются при решении многих физических задач. Противоречие между потребностями физики и уровнем развития математики привело, в свое время, к возникновению нового раздела математики – теории распределений или теории обобщенных функций. Мы не будем заниматься теорией обобщенных функций как таковой, а рассмотрим только одну функцию из этого класса, а именно дельта-функцию. Это функция часто используется не только при решении физических задач, но и задач связанных с радиоэлектроникой и обработкой сигналов.

По определению любая функция, для которой выполняется равенство

называется дельта-функцией. Функция , входящая в данное равенство, должна быть непрерывной функцией.

Рассмотрим задачу, решение которой приводит к дельта-функции:

Рисунок 0‑1 – Задача с решением в виде дельта-функции

Пусть в точке числовой оси помещена масса, равная 1. Обозначим через массу отрезка длиной с центром в точке . Очевидно, что эта масса равна 1, если отрезок содержит точку и н улю в противном случае. Т.е.

.

Обозначим как среднюю плотность распределения массы на отрезке . Очевидно, что

Покажем, что при функция стремится к дельта-функции. Для этого, исходя из определения дельта-функции, достаточно показать, что выполняется следующее равенство

.

Рассмотрим разность между правой и левой частями равенства . Для доказательства необходимо показать, что эта разность тождественна равна нулю. Подставим выражения и в соотношение . Учитывая, что функция равна нулю при и равна в противном случае, можно от бесконечных пределов интегрирования перейти к конечным:

.

На на интервале будет существовать как минимум одна точка , в которой функция принимает максимальное значение. В этом случае можно записать, что

,

и следовательно

.

При стремится к 0 так как . А так как - непрерывная функция, то . В результате получаем

.

Таким образом . Что и требовалось доказать.

Мы рассмотрели один из примеров представления дельта-функции как предела. Существуют и другие предельные переходы, приводящие к дельта-функции. Особый интерес для нас представляет следующий предельный переход

Следствием этого выражения является тождество

Доказательство этого тождества приведено ниже.

.

Данное тождество будет необходимо нам при рассмотрении ряда вопросов в более поздних лекциях этого курса.