Алгоритм обратного проецирования
Рассмотрим еще одно соотношение, позволяющее вычислять обратное преобразование Радона. Пусть на плоскости XOY задана функция f(x,y), преобразованием Радона которой является функция R(s,). Функция R(s,) представляет собой интеграл от функции f(x,y) вдоль прямой, заданной уравнением
.
Зададим на плоскости XOY точку (x,y). В общем случае прямых, проходящих через эту точку и удовлетворяющих соотношению бесконечно много. Для любого угла всегда можно определить значение s, при котором точка (x,y) будет принадлежать заданной прямой. Из всего множества значений функции R(s,) выберем те которые получены при интегрировании вдоль прямых проходящих через точку (x,y) и просуммируем эти значения. В результате получим функцию
,
которая называется суммарной обратной проекцией.
Выразим R(s,) через обратное преобразование Фурье:
Подставим последнее соотношение в выражение . В результате получим
.
В соответствии с теоремой о центральном сечении . После подстановки этого соотношения в выражение получим:
.
Поменяем пределы интегрирования в последнем выражении:
.
Объединяем пределы интегрирования:
.
С другой стороны, по определению спектра обратной проекции
.
Перейдем в последнем выражении к полярным координатам
.
.
Сравним подынтегральные выражения в и . Видно, что
,
или
.
Вычислив обратное преобразование Фурье, получим
.
Получено еще одно соотношение для вычисления преобразования Радона. Несмотря на то, что при выводе выражения и выражения использовались различные предпосылки, эти выражения полностью эквивалентны.
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Основные понятия курса. Оптическая и неоптическая голография
- Что такое изображение
- Методы восстановления изображений
- Методы реконструкции изображений
- Другие методы цифровой обработки изображений
- Оптическая голография. Регистрация интерференционной картины.
- Оптическая схема получения голограммы.
- Неоптическая голография
- Математический аппарат решения задач восстановления и реконструкции изображений
- Дельта-функция
- Свойства дельта-функции
- Преобразование Фурье. Теорема о свёртке
- Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы
- Прямые и обратные задачи. Уравнение Фредгольма
- Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
- Корректность решения обратной задачи. Существования решения
- Единственность решения на примере уравнения типа свертки
- Устойчивость решения
- Регуляризация решени обратных задач
- Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова
- Регуляризация решения уравнения типа свертки
- Фильтр Тихонова. Невязка
- Оптимальный фильтр Винера
- Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта
- Гомоморфная фильтрация
- Метод неопределенных коэффициентов
- Пример решения обратной задачи
- Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта
- Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта. Учет граничных условий
- Разрешающая способность систем формирования изображений
- Понятие о разрешающей способности
- Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра
- Представление Релея для монохроматических волн
- Представление Релея для немонохроматических волн
- Двойной физический смысл пространственной частоты
- Частотная характеристика свободного пространства
- Угловой спектр сферической волны
- Импульсный отклик свободного пространства
- Восстановление радиоголографических изображений
- Алгоритм восстановления изображений в частотной области
- Восстановление изображений в приближении Френеля
- Азимутальное разрешение радиоголографической системы
- Синтез апертуры сканированием одной антенной
- Синтез апертуры сканирования двумя антеннами
- Синтез радиоголограмм динамических объектов
- Разрешающая способность в радиальном направлении
- Многочастотная голография
- Основы томографии
- Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением
- Преобразование Радона
- Преобразование Радона точечного объекта
- Теорема о центральном сечении
- Обратное преобразование Радона
- Алгоритм обратного проецирования
- Вычисление обратного преобразования Радона
- Итерационные алгоритмы решения обратных задач
- Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач
- Итерационные алгоритмы с ограничениями
- Итерационное уравнение
- Ряд Неймана
- Итерационный оператор для уравнения типа свертки