Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта

При фотосъемке объектов, которые быстро движутся, будет получено смазанное изображение. Объясняется это тем, что за время экспозиции, то есть за время в течении которого объектив фотоаппарата открыт, объект смещается и на одном участке фотопленки фиксируется изображение разных участков объекта.

Разработаем математическую модель этого процесса. Введем несколько определений

• изображение объекта, сфокусированное на фотопленку, описывается функцией s(x, y).

• cмазанное изображение описывается функцией f(x,y).

• объект движется равномерно вдоль ось ОХ со скоростью V.

• время экспозиции равно .

Фотопленка является позитивной, линейной, не вносит шума и расположена на интервале

Поскольку движение происходит только вдоль одной оси координат, будем рассматривать одномерную задачу. Рассмотрим некоторую точку "смазанного" изображения и определим, каким образом значение функции в этой точке связано с функцией .

За время экспозиции объект сместится на расстояние . В точке суммируются значения точек функции , которые принадлежат интервалу . Точки расположенные вне этого интервала никакого вклада в формирование значения вносить не будут. В этом случае можно записать следующее соотношение

где

.

Уравнение (26.1) представляет собой уравнение Фредгольма 1-го рода с разностным ядром, т.е. уравнение типа свертки. Ядром этого уравнения является функция .

В спектральной области это уравнение принимает следующий вид

,

где

.

Вычислим :

,

или

.

Подставив полученное соотношение в выражение , получим для спектра неискаженного изображения следующее соотношение

.

Вычислив обратное преобразование Фурье, получим:

.

Запишем полученное выражение в следующем виде, опустив -1 перед интегралом.

.

где функция .

Эта функция имеет бесконечное множество точек, в которых она обращается в нуль. Координаты этих точек определяются соотношением При наличии малейшего шума в исходных данных в области каждой из этих точек интеграл будет расходится – решение будет неустойчивым.

Для регуляризации решения используем стабилизирующий коэффициент

.

Подставим в соотношение выражение для частотной характеристики и выполним необходимые преобразования. В результате получим:

.

Используя полученный стабилизирующий коэффициент, приближенное решение задачи запишется как

.

Или

.

Для того, чтобы последнее выражение можно было использовать для восстановления смазанных изображений, необходимо задать функцию . В наиболее простом случае можно принять .