Представление Релея для немонохроматических волн

Общий подход к представлению немонохроматических волн

При помощи представления Релея можно описывать не только монохроматические волны. В общем случае произвольное поле можно представить в виде суперпозиции монохроматических полей разных частот, каждое из которых описывается . Данное допущение широко используется в теории колебаний при представлении произвольного сигнала как суммы бесконечного ряда гармонических сигналов.

Решим аналогичную предыдущей задачу для произвольного поля. Пусть в сечении z = 0 задано произвольное поле . Нам необходимо определить временную зависимость поля в произвольном сечении z.

Заданное в сечении z = 0 поле можно представить в виде суммы монохроматических полей различных частот при помощи интеграла Фурье; каждое такое монохроматическое поле с частотой будет иметь комплексную амплитуду

.

Для каждого такого монохроматического поля, являющегося одной из составляющих произвольного поля, можно вычислить функцию согласно :

.

Далее, для каждого из полей можно отыскать распределение поля в произвольном сечении z:

,

где с - скорость распространения волны в пространстве, .

Далее мы можем получить искомое распределение поля при помощи обратного преобразования Фурье:

Некоторые частные случаи представления немонохроматической волны

Если поле таково, что его распределение в сечении z = 0 можно представить как произведение функций, зависящих только от координат и только от времени

,

то выражение можно записать в виде

,

где - спектр функции ,

Комплексная амплитуда вычисляется согласно на основании функции , вычисленной по пространственному распределению поля в известном сечении z = 0. Несмотря та то, что функция в данном случае не зависит от частоты, комплексная амплитуда будет зависеть от , т.к. в .

Еще одним способом представления произвольного поля является разложение по отдельным источникам излучения. В этом случае распределение поля в сечении z = 0 запишется в виде

,

где - распределение амплитуды в сечении z = 0 от j-го источника, колеблющегося по закону .

В этом случае для каждого из источников может быть применено выражение , а затем полученные распределения поля просуммированы. Важным для нас является то, что любую произвольную немонохроматическую волну можно представить в виде суммы монохроматических волн. Это позволит нам в дальнейшем проводить рассуждения только для монохроматических волн, помня о том, что они остаются справедливыми для компонент произвольных волн.