Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта

В основу фильтра Тихонова и фильтра Винера положен принцип минимизации уровня шума в получаемом изображении. При этом изображение оказывается сильно сглаженным, т.е. при использовании этого типа фильтрации в изображении исчезают мелкие детали, контуры более крупных деталей оказываются размытыми. В то же самое время субъективные оценки качества таких изображений, т.е. оценки даваемые человеком-экспертом, склоняются в сторону более зашумленных, но менее сглаженных изображений, т.е. человек воспринимает, как более качественное, четкое изображение с большим уровнем шумов, чем нечеткое, но с малым уровнем шумов.

В этой связи с этим был разработан фильтр, в котором можно задавать соотношение между степенью сглаживания и уровнем шума.

Пусть дисперсия шума в восстановленном изображении , а дисперсия ошибки восстановления, т.е. ошибки, вызванной использованием приближенного оператора , Определим некоторую величину:

и подберем оператор восстановления так, чтобы величина M была минимальной. В этом случае постоянные _m и _s будут определять соотношение между уровнем случайного шума в изображении и степенью сглаженности изображения. Запишем M в явном виде:

,

где

.

Будем считать, что шум n(x) и изображение стационарные, статистически независимые процессы со спектральными плотностями R_N() и R_S().

Тогда воспользовавшись выкладками, приведенными в предыдущем параграфе, получим

Включим коэффициенты 1/2 в постоянные _m и _s и подставим выражение для частотной характеристики приближённого обратного оператора в выражение для M. В результате получим

,

где K() – стабилизирующий коэффициент.

Теперь нам осталось определить K() так, что бы величина M была минимальной. Так как подынтегральное выражение не отрицательно, то минимум будет в точке, в которой первая производная подынтегрального выражения по K() будет равна нулю, а вторая будет положительна:

.

Вычислив производную, получим

После несложных преобразований найдём

Нетрудно убедится в том, что вторая производная от полученного значения всегда больше нуля.

Так определяется стабилизирующий коэффициент, для которого М принимает минимальное значение.

Этому стабилизирующему коэффициенту соответствует фильтр с передаточной функцией

Фильтр с такой частотной характеристикой называется фильтром Бэйкуса-Гильберта.

22. Yandex.RTB R-A-252273-3
    Содержание

    • Основные понятия курса. Оптическая и неоптическая голография
    • Что такое изображение
    • Методы восстановления изображений
    • Методы реконструкции изображений
    • Другие методы цифровой обработки изображений
    • Оптическая голография. Регистрация интерференционной картины.
    • Оптическая схема получения голограммы.
    • Неоптическая голография
    • Математический аппарат решения задач восстановления и реконструкции изображений
    • Дельта-функция
    • Свойства дельта-функции
    • Преобразование Фурье. Теорема о свёртке
    • Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы
    • Прямые и обратные задачи. Уравнение Фредгольма
    • Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
    • Корректность решения обратной задачи. Существования решения
    • Единственность решения на примере уравнения типа свертки
    • Устойчивость решения
    • Регуляризация решени обратных задач
    • Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова
    • Регуляризация решения уравнения типа свертки
    • Фильтр Тихонова. Невязка
    • Оптимальный фильтр Винера
    • Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта
    • Гомоморфная фильтрация
    • Метод неопределенных коэффициентов
    • Пример решения обратной задачи
    • Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта
    • Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта. Учет граничных условий
    • Разрешающая способность систем формирования изображений
    • Понятие о разрешающей способности
    • Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра
    • Представление Релея для монохроматических волн
    • Представление Релея для немонохроматических волн
    • Двойной физический смысл пространственной частоты
    • Частотная характеристика свободного пространства
    • Угловой спектр сферической волны
    • Импульсный отклик свободного пространства
    • Восстановление радиоголографических изображений
    • Алгоритм восстановления изображений в частотной области
    • Восстановление изображений в приближении Френеля
    • Азимутальное разрешение радиоголографической системы
    • Синтез апертуры сканированием одной антенной
    • Синтез апертуры сканирования двумя антеннами
    • Синтез радиоголограмм динамических объектов
    • Разрешающая способность в радиальном направлении
    • Многочастотная голография
    • Основы томографии
    • Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением
    • Преобразование Радона
    • Преобразование Радона точечного объекта
    • Теорема о центральном сечении
    • Обратное преобразование Радона
    • Алгоритм обратного проецирования
    • Вычисление обратного преобразования Радона
    • Итерационные алгоритмы решения обратных задач
    • Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач
    • Итерационные алгоритмы с ограничениями
    • Итерационное уравнение
    • Ряд Неймана
    • Итерационный оператор для уравнения типа свертки

    Yandex.RTB R-A-252273-4