Обратное преобразование Радона

Рассмотрим алгоритм обратного преобразования Радона, основанный на теореме о центральном сечении. Запишем функцию f(x, y) через обратное преобразование Фурье.

.

Перейдем от координат _x и _y к полярным координатам  и , где

.

При таком преобразовании координат коэффициенты Ламе равны 1 и , т.е. .

Пределы интегрирования определим от 0 до 2 для  и от 0 до  для . В результате получим

.

Так как по теореме о центральном сечении , то

.

Обычно преобразование Радона определено для углов 0    . Это связано с техническими особенностями получения экспериментальных данных. Преобразуем полученное нами соотношение таким образом, чтобы угол  находился в указанных выше пределах. Для этого интервал интегрирования по  разобьем на два интервала и заменим во втором из них величину  на +. В результате получим

Сделаем во втором интеграле подстановку и поменяем местами пределы интегрирования:

.

Ранее было показано, что . Аналогичное соотношение можно получить и для Фурье спектра преобразования Радона:

.

Воспользуемся соотношением и сделаем соответствующую подстановку в . При этом

.

Объединив интервалы интегрирования, получим

.

Полученное выражение является обратным преобразованием Радона, используя которое можно восстановить функцию по ее радоновскому образу . Как видно из этого выражения, математически связь неизвестной величины и известной описывается преобразованием, похожим на преобразование Фурье. Таким образом, несмотря на качественные физические различия рассмотренных ранее обратных задач и данной обратной задачи, математический аппарат их решения оказывается похожим.