Представление Релея для монохроматических волн

Выражение для произвольной монохроматической волны

Выше уже говорилось о том, что произвольную монохроматическую волну с неплоской фазовой поверхностью можно представить в виде суммы плоских волн, распространяющихся в различных направлениях. Такое представление справедливо в силу линейности волнового уравнения – общее решение уравнения можно представить в виде суммы частных решений, т.е. суммы плоских волн распространяющихся в различных направлениях. Вспомним, что направление распространения волны определяется компонентами u₁ и u₂, тогда искомое общее решение можно записать в виде

.

В выражении функция описывает собой комплексную амплитуду волны, распространяющейся в направлении, определяемом переменными u₁ и u₂. Это выражение включает в себя не только плоские волны, но и неоднородные экспоненциально затухающие волны, для которых .

Такой вид записи произвольной монохроматической волны носит названия представления Релея и широко применяется при решении различных задач.

Использование представления Релея для решения задачи распространения волн в свободном пространстве

Решим следующую задачу – пусть известно распределение комплексной амплитуды поля в плоскости z = 0. Требуется определить распределение комплексной амплитуды в некоторой другой плоскости z ≠ 0.

Согласно представлению Релея известное распределение поля в плоскости z = 0 запишется в виде

.

Мы видим, что выражение представляет интеграл Фурье, связывающий значения комплексной амплитуды поля и функции . При помощи преобразования Фурье мы можем определить функцию :

.

Воспользовавшись тем, что согласно представлению Релея, функция не зависит от координаты z, искомое распределение комплексной амплитуды можно определить непосредственной подстановкой найденной функции в .

Последним шагом в решении поставленной задачи является выбор правильного знака перед z в . Этот знак можно определить по поведению неоднородных волн с учетом граничных условий на бесконечной сфере – неоднородные волны должны затухать с увеличением расстояния. С учетом этих соображений при z > 0 необходимо выбирать знак «плюс», а при z < 0 – «минус».

Таким образом, зная распределение комплексной амплитуды произвольной монохроматической волны в каком-либо одном сечении, можно построить распределение комплексной амплитуды в любом другом сечении этого поля.

33. Yandex.RTB R-A-252273-3
    Содержание

    • Основные понятия курса. Оптическая и неоптическая голография
    • Что такое изображение
    • Методы восстановления изображений
    • Методы реконструкции изображений
    • Другие методы цифровой обработки изображений
    • Оптическая голография. Регистрация интерференционной картины.
    • Оптическая схема получения голограммы.
    • Неоптическая голография
    • Математический аппарат решения задач восстановления и реконструкции изображений
    • Дельта-функция
    • Свойства дельта-функции
    • Преобразование Фурье. Теорема о свёртке
    • Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы
    • Прямые и обратные задачи. Уравнение Фредгольма
    • Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
    • Корректность решения обратной задачи. Существования решения
    • Единственность решения на примере уравнения типа свертки
    • Устойчивость решения
    • Регуляризация решени обратных задач
    • Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова
    • Регуляризация решения уравнения типа свертки
    • Фильтр Тихонова. Невязка
    • Оптимальный фильтр Винера
    • Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта
    • Гомоморфная фильтрация
    • Метод неопределенных коэффициентов
    • Пример решения обратной задачи
    • Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта
    • Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта. Учет граничных условий
    • Разрешающая способность систем формирования изображений
    • Понятие о разрешающей способности
    • Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра
    • Представление Релея для монохроматических волн
    • Представление Релея для немонохроматических волн
    • Двойной физический смысл пространственной частоты
    • Частотная характеристика свободного пространства
    • Угловой спектр сферической волны
    • Импульсный отклик свободного пространства
    • Восстановление радиоголографических изображений
    • Алгоритм восстановления изображений в частотной области
    • Восстановление изображений в приближении Френеля
    • Азимутальное разрешение радиоголографической системы
    • Синтез апертуры сканированием одной антенной
    • Синтез апертуры сканирования двумя антеннами
    • Синтез радиоголограмм динамических объектов
    • Разрешающая способность в радиальном направлении
    • Многочастотная голография
    • Основы томографии
    • Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением
    • Преобразование Радона
    • Преобразование Радона точечного объекта
    • Теорема о центральном сечении
    • Обратное преобразование Радона
    • Алгоритм обратного проецирования
    • Вычисление обратного преобразования Радона
    • Итерационные алгоритмы решения обратных задач
    • Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач
    • Итерационные алгоритмы с ограничениями
    • Итерационное уравнение
    • Ряд Неймана
    • Итерационный оператор для уравнения типа свертки

    Yandex.RTB R-A-252273-4