Вступ до аналізу Комплексні числа

Комплексним числом називається вираз z = a + bi, де a та b – дійсні числа, а символ і – уявна одиниця, яка називається умовою і = -1. При цьому число а називається дійсною частиною комплексного числа z і позначається а =Rez, a b – уявною частиною z, b=Im z ( від французьких слів: reel – дійсний, imaginaire – уявний).

Вираз, що стоїть справа у формулі називається алгебраїчною формою запису комплексного числа.

Два комплексні числа z = a + bi i = a – bi, які відрізняються лише знаком уявної частини, називаються спряженими.

Два комплексні числа i вважаються рівними ( ) тоді і тільки тоді, коли рівні їхні дійсні частини і рівні їхні уявні частини: .

Комплексне число z = a +bi дорівнює нулю (z=a + bi =0) тоді і тільки тоді, коли a = b =0.

Комплексні числа можна зображати на площині. Якщо користуватись декартовою системою координат, то число зображається точкою М(a;b).Така площина умовно називається комплексною площиною змінної z, вісь Ох - дійсною віссю, а Оу – уявною.

Комплексне число z = a + bi при b = 0 збігається з дійсним числом a : z = a + 0i = a. Тому дійсні числа є окремим випадком комплексних, вони зображаються точками осі Ох.

К омплексні числа z = a +bi в яких, а = 0, називаються суто уявними; такі числа зображаються точками осі Оу.

Основні дії над комплексними числами та , заданими в алгебраїчній формі, визначаються

такими рівностями:

Розглянемо дії над комплексними числами в тригонометричній формі. Нехай тоді

Отже, під множення комплексних чисел їхні модулі перемножуються, а аргументи додаються.

Це правило поширюється на довільно скінченне число множників. Зокрема, якщо всі n множників рівні, то

Ця формула називається формулою Мавра.

При діленні комплексних чисел маємо

Отже, модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів діленого і дільника; аргумент частки дорівнює різниці аргументів діленого і дільника.

Розглянемо добування кореня з комплексного числа. Якщо для даного числа треба знайти число то за означенням кореня і формулою Муавра маємо

Звідси >0 I p>0,то , де під коренем потрібно його арифметичне значення; тому

Вправи

1. Виконайте додавання даних комплексних чисел.

1) (2 + 3i) + (4 + 2i); 2) (-4 + 5і) + (3 - 2і);

3) (-7 + 6і) + (-3 - 8і); 4)(-5 - 2і) + (-6 + 8і);

5) (4 - 7і) + (4 + 7і); 6) (-3 + 2і) +(3 - 2і).

7) (-3 - 2і) + (4 - 5і) + (-8 + 6і); 8)4 +(3 – 6і) + (-7 -4і) +3і;

9) (4 – 5і)х + (-2 + 3і)у

10) (1,2 – 0,7і) + (-0,3 + 0,27і) + (-0,6 – 0,32і) – 1,4і

2. Виконайте віднімання даних комплексних чисел:

1) (4 + 3і) – (1 + 2і); 2) (-3 + 5і) – (2 – і);

3) (5 – і) – (-1 – 3і); 4) (-2 + 6і) – (2 + 9і);

5) (7 – 2і) – (7+ 2і); 6)(-3 + 5і)–(-3 + 5і).

3. Розв’яжіть рівняння:

1. (4х – 3у) + (3х + 5у)і = 10 – (3х – 2у – 30)і;

2. (2 – 7і)х + (8 + 6і)у = (-6 + 5і)х – 8;

3. (-4 – 5і)х + (1 + 4і)у = -27і + (7 – 2і)у;

4. Виконайте вказані дії:

1)(2 – 3і)(-4 +7і); 2) (5 – 6і)(-10 + 8і);

3) 4)

5) ( 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15)

5 Запишіть в тригонометричній та показниковій формах слідуючи комплексні числа:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

6. Записати в алгебраїчній та тригонометричній формах числа:

1) 2) 3) 4) 5)

7.Використовуючи тригонометричну форму комплексного числа, виконайте вказані дії:

1) 2) 3) 4)

8 Виконайте множення:

1)

2)

3)