Правило Лопіталя

Найбільш простим і ефективним методом розкриття невизначеностей є правило Лопіталя.

Нехай функції і :

1) диференційовані в деякому околі точки а за винятком, можливо, самої точки а, причому у цьому околі; 2) одночасно є нескінченно малими або нескінченно великими в точці а;

3) існує (можливо, нескінченна). Тоді існує , причому .

Правила Лопіталя діють також при , , і у випадках однобічних границь. Вони дозволяють розкривати невизначеності типу і .

Правило Лопіталя можна застосовувати кілька разів.

Вправи

Застосовуючи правило Лопіталя, обчислити границі:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10)

Невизначеності типів і шляхом простих алгебраїчних перетворень зводяться спочатку до типів і , до яких і застосовується правило Лопіталя.

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

Невизначеність типів , які зустрічаються при обчисленні границь функцій вигляду зводяться до невизначеності типу .

19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)