Лінійні диференційні рівняння першого порядку

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається диференційне рівняння, лінійне відносно шуканої функції та її похідної.

Лінійне диференціальне рівняння першого порядку містить у та у^, в першому степені і не містить добутку уу^, . Розв’язок лінійного рівняння шукають у вигляді добутку функцій і які підібрані спеціальним чином, так що початкове рівняння розпадається на два рівняння з відокремленими змінними.

у ^, +р(х)у=q(x). Нехай y=u·v. Тоді y^’=u^’v+v^’u підставляємо у рівняння і маємо u^’v+v^’u+ р(х)uv= q(x). В цьому рівнянні в другому і третьому доданку виносимо за дужки і дужку прирівнюємо до нуля .

Приклад . Знайти загальний інтеграл рівняння

Рішення. Розв’яжемо рівняння відносно похідної

Розділив числівник і знаменник правої частини рівняння на отримуємо , де є функція відношення (у/х.) Це означає, що дане рівняння - однорідне.

Для рішення цього рівняння введемо нову функцію

Тоді y = ux i u=y/x. Одже y=ux i Рівняння (*) перетворюється в рівняння з розділеними змінними:

або звідки Інтегруємо це рівняння, маємо Ln Звідки а саме .