Достатні умови існування екстремуму.

Нехай функція диференційована в деякому околі точки , окрім, можливо, самої точки , в якій функція неперервна.

Якщо при переході аргументу через точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то функція в цій точці має максимум; якщо знак змінюється з мінуса на плюс, то функція має мінімум.

Нехай функція двічі диференційована і . Тоді в точці функція має максимум, якщо і мінімум, якщо .

Вправи

1. Знайти проміжки зростання і спадання функцій:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

7) 8) 9) 10) 11) 12)

13) 14)

2. Визначити екстремуми функцій:

1) 2) 3) ; 4) 5) 6)

7) 8) 9) ; 10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20)

3. Розв’язати задачі:

1. З бляшаного круга радіуса R вирізають сектор з центральним кутом із нього скручують конічну лійку. При якому значені кута об’єм лійки буде найбільшим?

2. Якою повинна бути висота конуса, вписаного в кулю радіуса R, щоб його бокова поверхня була найбільшою?

3. Серед прямокутників з даним периметром найти такий, площа якого найбільша.

4. На сторінці книги друкований текст повинен займати 432 см . Поля зверху і знизу повинні бути по 2 см, а справа і зліва по 1,5 см. Обчислити най економніші розміри паперу.(21 см; 28 см).

5. Знайти висоту прямого кругового конусу найменшого об’єму, який описаний навколо кулі радіусом R. (8 R).