Застосування похідних до дослідження функцій Теореми про середнє значення

Дослідження функцій за допомогою похідних ґрунтується на деяких основних теоремах диференціального числення.

Теорема Лагранжа. Нехай функція задовольняє умовам: 1) неперервна на 2) диференційована на ( ). Тоді існує точка така, що . Ця формула називається формулою Лагранжа, або формулою скінчених приростів.

Теорема Коші. Нехай функція і задовольняють умовам: 1) і неперервні на 2) і диференційовані на ( ); 3) в усіх точках . Тоді існує точка така, що . Ця формула називається формулою Коші.

Вправи

1. Для функції записати формулу Лагранжа на відрізку і визначити значення :

1) , [0;1]; 2) , [1;2].

2. записати формулу Коші для функцій:

1) і = на відрізку [1;2];

2) і = на відрізку [ ].

Визначити значення .

3. Довести, що рівняння має лише один дійсний корінь.

4. Довести, що рівняння , яке має корінь (перевірте), не має інших дійсних коренів.