Диференціал функції

Нехай функція диференційована в точці . Диференціалом цієї функції в точці називається добуток її похідної на приріст незалежної змінної:

звідки

Якщо функція диференційована в кожній точці інтервалу ( ), то для всіх

Диференціал функції має властивості аналогічні властивостям похідних. Важливою є також властивість інваріантності форми диференціала: формула зберігається і в тому випадку, коли є функцією, а не залежною змінною.

З означення похідної функції у точці випливає, що її приріст у точці можна подати у вигляді , де , якщо . Отже, при малих , тобто

.

Ця формула дозволяє виконувати наближені обчислення, знаходячи при малих значення функції у точці , якщо відомі значення і .

Вправи

Знайти диференціали функцій:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15)

Знайти наближене значення функції в точці , якщо:

1) = =0,95; 2) = =

3) = =0,15; 4) = =5,08;

5) = =3,94; 6) = =34;

7) = =3,03; 8) = =3,02;

9) = =4,01; 10) = =0,2.

2. За допомогою диференціала обчислити наближене значення:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10)