Границі послідовності та функції. Нескінченно малі та нескінченно великі

1. Число а називається границею послідовності (границею змінної ), якщо для всякого знайдеться залежне від число таке, що для всіх натуральних . Інтервал - називається околом числа а. Отже, означає, що для всього знайдеться таке число , що для всіх числа будуть знаходиться в - околі числа а.

2. Границя функції. Нехай функція f (x) визначена в деякому - околі точки a, за виключенням можливо самої точки a. Кажуть, що число b границя функції f (x) при при , або ), якщо для любого >0 існує залежне від число таке, що при .

Якщо і при цьому х < 0, то пишуть , якщо і при цьому x > a, то пишуть .

- границі зліва функції f (x) в точці а.

- границі справа функції f (x) в точці а.

3. Нескінченно малі

Якщо , тобто якщо при , то - називається нескінченно малою при .

4. Нескінченно великі.

Якщо для будь-якого нескінченно великого числа N існує таке , що при виконується нерівність , то функція називається нескінченно великою при

Вправи

1. Покладаючи n = 0;1;2;3…, записати послідовність значень змінних:

1. 2. 3.

2. Починаючи з якого n модуль кожної із змінних стане і буде залишатися менше 0,001; менше даного додатного ?

3. Записати послідовність значень змінної . Починаючи з якого n модуль різниці x – 1 стане і буде залишатися менше 0,01; менше даного додатного ?

4. Довести, що . Для даного числа >0 знайти найбільше число таке, що для будь –якого x на - околі числа 3 значення функції y = 2x – 1 опиниться в - околі числа 5. Показати графічно

5. Довести, що . Із якого найбільшого - околу числа -1 треба взяти значення х , щоб значення функції y = 3 – 2x - x відрізнялося від її границі менше ніж на = 0,0001?

6. Довести, що . Пояснити таблицями значень x і при x = 1;10;100;1000;…

7. Довести, що .При яких x значення функції буде відрізнятися від своєї границі менше ніж на 0,001?

8. Довести, що . При яких значеннях x x значення функції буде відрізнятися від своєї границі менше ніж на 0,01?

9. Напишіть послідовність:

10. 1) 2) 3)

11. 4) 5) 6)

12. Чи існує в кожному прикладі та чому вона дорівнює ?

13. Довести, що вказуючи, що різниця є величина нескінченно мала при x нескінченно великому. Пояснити таблицями, покладаючи x = 1;10;100;1000… .

Властивості границь.

Розкриття невизначеностей виду і

1. Границя постійної дорівнює самій постійній.

якщо lim u і lim існують

4. , якщо lim u і lim ≠ 0.

Вправи

Знайти границі:

1. 1). 2)

2. 1) (пояснити таблицю) 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14 1) 2) 3)

15. 16.

17. 1) 2)

18. 19 . 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.