Похідні і диференціали вищих порядків

Похідна від похідної функції називається похідною другого порядку або другою похідною заданої функції .

Аналогічно означаються похідні третього і т.д. порядків. Похідні , починаючи з другої, називаються похідними вищого порядку і позначаються

Якщо функцію задано параметрично , то похідна другого порядку обчислюється за формулою

Похідна другого порядку від шляху S за часом дорівнює прискоренню (механічний зміст другої похідної):

Диференціал від диференціала функції називається диференціалом другого порядку і позначається або Отже, = .

Аналогічно означаються диференціали вищих порядків, тобто

Якщо - незалежна змінна, то

Вправи

1. Знайти похідні другого порядку функцій:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10)

11) 12)

13) 14) 15) 16)

17) 18)

19) 20)

2. Записати формулу для похідної 5-го порядку функцій:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

3. Для даної функції та аргументу обчислити :

1) 2)

3) =0; 4) =0;

5) =0; 6) =1;

7) =2; 8) =0;

9) = 10) =

4. Знайти для функцій, заданих наявно рівняннями:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)