Асимптоти

Асимптоти кривої називається пряма, до якої необмежено наближається точка кривої при її віддалині по кривій у нескінченність.

1. Якщо , то пряма - вертикальна асимптота кривої .

2. Якщо існують границі

і , то пряма - похила асимптота функції .

Вправи

8. Визначити асимптоти кривої

і побудувати криву по точках

В прикладах 9 – 11 знайти асимптоти кривих, виділивши з дробу лінійну цілу частку, побудувати асимптоти і кривіх

9. 1) 2) 3)

10. 1) 2) 3)

11. 1) 2) 3)

В прикладах 12 – 14 знайти асимптоти кривих і побудувати криві

12. 1) 2)

3) 4)

13. 1) 2)

3) 4)

14. 1) 2)

Питання для самоконтролю

1. яка змінна називається упорядкованою?

2. яке означення границі змінної?

3. який геометричний зміст границі змінної?

4. яка змінна називається нескінченно малою?

5. яка змінна називається нескінченно великою?

6. які теореми про границі функції ви знаєте?

7. які правила розкриття невизначеностей ви знаєте?

Диференціальні числення функції однієї змінної

Поняття похідної. Правила диференціювання

Похідною функції в точці називається число, що дорівнює , якщо ця границя існує і позначається . Функція при цьому називається диференційованою в точці . Користуючись позначенням , ,маємо .

Якщо функція має похідну в кожній точці інтервалу , то вона називається диференційованою на ньому і її похідна позначається , або . При цьому похідна є функцією від .

Основні правила диференціювання

1. похідна суми, добутку, частки :

;

2. Похідна складної функції:якщо , де , то .

3. похідна оберненої функції: , де є оберненою функцією до .

Ці формули справедливі, якщо розглядувані функції диференційовані.

Таблиця похідних

Нехай , тоді

Похідна функції, заданої параметрично знаходиться за формулою: у’_х= у’ /х’

Щоб знайти похідну функції, заданої неявно, потрібно взяти похідну по х від обох частин рівності, вважаючи у функцією від х, і одержане рівняння розв’язати відносно у’

Вправи

Застосовуючи правила і формули диференціювання, знайти :

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8. ;

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24. 25. 26.

27. 28.

29. 30.

Знайти похідні складних функцій:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Знайти похідні функції, заданих параметрично:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27) 28)

29) 30)

Знайти похідні функцій, заданих неявно:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27) 28)

29) 30)