Формула і ряд Тейлора та їх застосування

Якщо функція в деякому околі точки має похідні до ( )-го порядку включно, то для будь-якого з цього околу виконується рівність (формула Тейлора -го порядку)

Де - доповняльний член формули Тейлора, який у формі Лагранжа має вигляд:

При =0 формула називається формулою Маклорена і тоді

Для основних елементарних функцій формули Тейлора мають вигляд:

Вправи

1. Розкласти многочлен = по степенях двочлена ( )

2. Розкласти многочлен = по степенях двочлена ( ).

3. Розкласти многочлен = по степенях двочлена ( )

4. Розкласти ф-цію = за формулою Маклорена в т. =0.

5. Розкласти функцію = по степенях ( ) до члена 0( ) , та написати залишковий член у формі Лагранжа.

6. Написати формулу Тейлора для функції = у точці =2 до 0( ) , .

7. Розкласти функцію = за формулою Маклорена в точці =0 до 0 , .

8. Написати ф-лу Тейлора для функції = у точці =1.

9. Написати формулу Маклорена для функції = у точці =0 до , .

10. = у точці =0 та записати залишкові члени до неї.

11. Застосовуючи формулу Тейлора, обчислити з точністю до 10 :

1) 2) 3) 4)

12. Знайти формулу загального члену ряду:

а) 2+4+8+16+.....; б) в)

г) д) е)

є) .

Дослідити на збіжність ряд за допомогою ознаки Даламбера:

13. 14. 15. . 16.

17 . 18.

19 21. .

22. .23. .

24. . 25.

26. 27. .

28. .30

Дослідити на збіжність знакозмінний ряд:

31. .

32. .

33. .

34. .

Знайти радіус збіжності степеневого ряду:

35.

36.

37.

38. .