2.7 Условия равновесия пространственной и плоской систем сходящихся сил в аналитической форме. Указания к решению задач

В § 2.6 мы установили, что для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этой системы сил равнялась нулю ().

Выразим теперь это условие аналитически.

Из предыдущего параграфа известно, что модуль равнодействующей пространственной системы сходящихся сил определяется по формуле

.

Но если , то равно нулю и подкоренное выражение. Поскольку стоящие под корнем слагаемые как квадраты некоторых чисел (безразлично, положительных или отрицательных) всегда положительны, то может равняться нулю только в том случае, если каждое из этих слагаемых равно нулю в отдельности. Откуда следует, что должны соблюдаться следующие три условия:

;;. (1)

С другой стороны, очевидна и достаточность этих условий для равновесия рассматриваемой системы сил, так как из них следует, что .

Таким образом, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из трех выбранных любым образом координатных осей.

Таково условие равновесия пространственной системы сходящихся сил в аналитической форме.

Имея плоскую систему сходящихся сил, всегда можно плоскость, в которой расположены линии действия всех этих сил, принять за координатную плоскость хОу. Тогда третье условие равновесия будет выполнено тождественно, и условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме сведутся к двум следующим условиям:

;. (2)

Таким образом, для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю алгебраические сумма проекций всех сил на каждую из двух, выбранных любым образом координатных осей, лежащих в плоскости, в которой расположены линии действия всех сил.

Если на свободное тело действует система сходящихся сил (безразлично, пространственная или плоская), эквивалентная нулю, то из этого еще не следует, что данное тело будет находиться в покое от выбранной системы отсчета, так как при выполнении условий (1) или (2) это тело может двигаться по инерции. Необходимыми и достаточными условиями состояния покоя свободного тела, на которое действует система сходящихся сил, являются: 1) равнодействующая этой системы сил должна быть равна нулю () и 2) начальные скорости всех точек рассматриваемого тела также должны быть равны пулю.

Если эти два условия выполняются, то говорят, что данное тело находится в равновесии (условия равновесия свободного тела в этом случае полностью совпадают с условиями равновесия свободной материальной точки).

Однако иногда под равновесием рассматриваемого тела понимают его движение по инерции, а не только состояние покоя. В связи с этим в статике решают задачи, относящиеся не только к телам, находящимся в покое, но и к телам, движущимся по инерции.

Если же на данное тело наложены связи, то, присоединяя силы реакций связей к активным силам, приложенным к телу, можно рассматривать его как свободное (аксиома связей). При этом в большинстве случаев в задачах статики по некоторым известным активным силам, приложенным к данному несвободному телу, требуется определить неизвестные силы реакций связей, предполагая, что тело находится в покое и что, следовательно, все приложенные к нему активные силы и силы реакций связей уравновешиваются.

При решении таких задач, когда линии действия всех сил, приложенных к телу, включая и силы реакций, пересекаются в одной точке, нужно воспользоваться условиями равновесия системы сходящихся сил в геометрической или аналитической форме. В первом случае для системы сходящихся сил мы определяем искомые силы реакций связей или другие неизвестные в данной задаче величины при помощи построения замкнутого силового многоугольника или чисто графически, строя этот силовой многоугольник в строго определенном масштабе, или вычисляя его стороны по правилам геометрии и тригонометрии (геометрический метод). Однако геометрический метод решения задач статики при числе сил больше трех становится неудобным. При большом числе сил почти всегда выгоднее применять аналитический метод. При аналитическом методе мы находим искомые величины из уравнений равновесия (1) или (2), в левые части которых войдут, кроме проекций известных активных сил, и проекции неизвестных сил реакций связей.

Нужно заметить, что те из соотношений (1) или (2), в которые будут входить проекции сил реакций связей, называют уравнениями равновесия, а те из них, в которые проекции сил реакций связей не будут входить, называют условиями равновесия. Если тело несвободно, то число условий равновесия будет равно числу степеней свободы тела, т. е. числу независимых перемещений, которые может иметь это тело.

При решении задач о равновесии несвободного твердого тела силы реакций наложенных на это тело связей являются величинами, наперед неизвестными. Число этих неизвестных зависит от числа и характера наложенных связей. Определение неизвестных сил реакций по известным активным силам как раз и составляет содержание большинства задач статики. Соответствующая задача статики может быть решена только в том случае, когда для нее число неизвестных сил реакций не превышает числа уравнений равновесия, содержащих эти силы реакций. Если число уравнений равновесия равно числу неизвестных сил реакций, то такая задача о равновесии тела называется статически определенной. Если же из всех уравнений равновесия все неизвестные силы реакций определить нельзя, потому что уравнений равновесия меньше, чем неизвестных сил реакций, то такая задача о равновесии тела называется статически неопределенной. Для решения статически неопределенных задач методы статики абсолютно твердого тела оказываются недостаточными, и поэтому для определения всех неизвестных сил реакций приходится учитывать упругие свойства тела, т. е. его деформацию. Статически неопределенные задачи решаются в курсах сопротивления материалов или статики сооружений.

В дальнейшем мы будем рассматривать только статически определенные задачи.

При решении задач статики рекомендуется придерживаться сле­дующего порядка:

1. Выбрать тело (или точку), равновесие которого должно быть рассмотрено в данной задаче.

2. Освободить выбранное тело от связей и изобразить (расставить) все действующие на это тело (и только на это тело) активные силы и силы реакций отброшенных связей. Тело, освобожденное от связей, с приложенной к нем системой активных сил и сил реакций, следует изображать отдельно. При определении направления сил реакций связей и изображении этих сил на чертеже нужно пользоваться теми соображениями, о которых говорилось в §3.

3. Составить уравнения равновесия. Для составления уравнений равновесия необходимо сначала выбрать оси координат. Этот выбор можно производить произвольно, но полученные уравнения равновесия будут решаться проще если одну из осей направить перпендикулярно к линии действия какой-либо неизвестной силы реакции. Решение полученных уравнений равновесия следует, как правило, проводить до конца в общем виде (алгебраически). Тогда для искомых величин будут получаться формулы, позволяющие проанализировать найденные результаты; численные значения найденных величин подставляются только в окончательные формулы. Уравнения равновесия составляются при аналитическом методе решения задач на равновесие системы сходящихся сил. Однако, если число сходящихся сил, равновесие которых рассматривается, равно трем, то удобно применить геометрический метод решения этих задач. Решение в данном случае сводится к тому, что вместо уравнений равновесия всех действующих сил (активных и реакций связей) строится силовой треугольник, который на основании геометрического условия равновесия должен быть замкнут (начинать построение этого треугольника следует с заданной силы). Решая силовой треугольник, находим искомые величины.

Рисунок 37

Задача 1. Тяжелый шар весом килограммов подвешен на нити (рисунок 37, а) в точке А и удерживается в отклоненном на угол а от вертикали отложении горизонтальной нитью, привязанной в точке В. Найти натяжение нитей.

Решение. Выбираем тело, равновесие которого будем рассматривать. Таким телом будет шар. Вес шара известен. Будем рассматривать шар как материальную точку О. Эта точка несвободна. Связи, наложенные на нее, осуществляются нитями ОА и OВ. Отбрасываем связи (перережем мысленно нити) и заменяем их действие на точку O реакциями. Тогда точку О можно будет рассматривать как свободную и находящуюся в равновесии под действием плоской системы из трех сходящихся сил: активной и реакций и нитей (рисунок 37, б) которые направлены вдоль нитей. Реакции и по модулю равны искомым натяжениям нитей. Следовательно, определение натяжений нитей можно заменить определением их реакций и .

Рассмотрим три метода решения данной задачи.

Графический метод решения. Так как три силы , и находятся в равновесии, то силовой треугольник, составленный из этих сил, должен замыкаться. Строим этот силовой треугольник: для этого в определенном масштабе строим силу, которая нам известна по модулю и направлению, затем через начало и конец вектора проводим прямые, параллельные направлениям сил и . Стороны DE и ЕС полученного таким образом замкнутого силового треугольника СDЕ (рисунок 37, в) дают модули и направления искомых реакций нитей. Чтобы найти их модули, а следовательно, и натяжения нитей, остается измерить в принятом масштабе стороны DE и ЕС.

Геометрический метод решения. Искомые стороны DE и ЕС силового треугольника CDE можно найти не только путем непосредственного измерения, но и вычислением, применяя правила геометрии и тригонометрические формулы. Из способа построения силового треугольника CDE ясно, что ,и(рисунок 37,а, б). Из силового треугольника CDE видно. что

кГ; кГ.

Нужно иметь в веду, что геометрический метод решения задач статики при числе сил больше трех становится неудобным.

Аналитический метод решения. Для составления уравнений равновесия необходимо выбрать оси координат. Выбирать систему координат так, чтобы проектирование сил в выбранной системе координат было наиболее удобным и выражения проекций были возможно проще. В данной задаче начало координат возьмем в точке O, равновесие которой мы рассматриваем. Направим ось Ox горизонтально вправо, а ось Oy – вертикально вверх (рисунок 37, б). Из сравнения рисунка 37, а и 37, б видно, что и. Составим теперь уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил.

; .

Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую координатную ось и приравняем к нулю полученные алгебраические суммы:

;

.

Решая эти уравнения равновесия, находим

кГ; кГ.

Как мы видим, данную задачу можно решить различными методами. Выбор того или иного метода решения задачи зависит от характера этой задачи и от требований, предъявляемых к точности решения.

Задача 2. Из трех прикрепленных к вертикальной стене стержней АО, ВО и СО стержни АО и ВО расположены в горизонтальной плоскости и образуют со стеной угол , а стерженьСО образует со стеной угол (рисунок 38,а). Стержни прикреплены к стене шарнирами и скреплены шарниром в точке О, к которой прикреплен груз Q весом кг. Определить усилия, действующие вдоль стержнейАО, ВО и СО.

Решение. Выбираем тело, равновесие которого будем рассматривать. Таким телом будет узел, или точка О. Эта точка несвободна; связями служат стержни АО, ВО и СО. Отбросим эти стержневые связи и заменим их действие на точку О силами реакций , илинии действия которых направлены вдоль стержней АO, ВО и СО. Кроме этих трех сил, к узлу О приложена еще реакция веревки, на которой подвешен груз Q, равная, очевидно, по модулю весу груза Q. В точке О, таким образом, сходятся четыре силы: ,, и.

Выберем оси координат, как показано на рисунке 38, б, совместив плоскость yOz с плоскостью, в которой действуют силы и. При этом силы ибудут лежать в координатной плоскости хОу.

Составим теперь уравнения равновесия пространственной системы сходящихся сил:

; ;.

Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую координатную ось и приравняем к нулю полученные алгебраические суммы.

;

;

,

Откуда

кг;

кг.

Все три силы: , и — получились со знаком «плюс», следовательно, сделанное предположение об их направлении правильно.

Выясним вопрос о том, какие стержни сжаты, какие — растянуты.

Так как стержни АО и ВО действуют на точку О силами и, направленными от О к А и от О к В, то точка О действует на стержни AO и ВО силами, обратно направленными и растягивающими эти стержни. Стержень СО действует на точку О c силой , направленной от С к О, следовательно, точка О действует на стержень СО силой, обратно направленной и сжимающей этот стержень. Таким образом, стержни АО и ВО будут работать на растяжение, а стержень СО — на сжатие.

Если бы сразу не было очевидным, какой из стержней сжат и какой растянут, то можно было бы предварительно считать все стержни растянутыми. Отрицательное значение реакций того или иного стержня, полученное в результате решения уравнений равновесия, пока зало бы, что действительное направление этой реакции противоположно принятому.