6.2 Момент силы относительно оси

При изучении произвольной пространственной системы сил, кроме уже введенного понятия о векторе-моменте силы относительно точки, необходимо ввести еще понятие о моменте силы относительно оси.

Рассмотрим тело, которое может вращаться вокруг некоторой оси z (рисунок 92) (Очертание тела, как не имеющее значения для вывода, мы здесь не изображаем). Пусть на это тело действует сила , приложенная в точкеА тела. Проведем через точку А плоскость ху, перпендикулярную к оси вращения тела z, которая пересекается с плоскостью ху в точке О.

Разложим данную силу на две составляющие: , параллельную оси z, и , лежащую в .плоскости ху и являющуюся одновременно проекцией силы на эту плоскость. Составляющая , очевидно, не может повернуть тело вокруг оси z. Эта составляющая только стремится сдвинуть тело вдоль оси z. Отсюда следует, что весь вращательный эффект, создаваемый данной силой , по отношению к осиz, будет одинаков с вращательным эффектом, создаваемым ее составляющей по отношению к оси z или точке О. Момент силы относительно оси определяется так:

, (1)

где символ обозначает момент данной силы относительно оси z; – момент составляющейсилыотносительно той же осиz; – момент составляющей силы относительно точки О, в которой ось z пересекается с перпендикулярной к ней плоскостью xy. Из рисунка 92, видно, что при вычислении момента силы относительно точки по формуле (1) плоскость ху можно проводить через любую точку оси z.

Таким образом, момент силы относительно оси равен, моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Момент силы относительно оси считают положительным, если с положительного конца оси поворот, совершаемый составляющей этой силы , виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу часовой стрелки.

Момент силы относительно оси вполне определяется своей абсолютной величиной и знаком и является, следовательно, алгебраической, а не векторной величиной.

Рассмотренное в § 11 понятие момента силы относительно точки представляет собой момент силы, лежащей в плоскости Оху относительно оси Оz. Поэтому для произвольной плоской системы сил было достаточно принять определение момента силы относительно точки как алгебраическую величину.

Для того чтобы найти момент какой-либо силы относительно какой-нибудь оси z, нужно: 1) провести плоскость лгу, перпендикулярную коси z; 2) спроектировать силу на эту плоскость и вычислить модуль ее составляющей ; 3) опустить из точки О пересечения оси г с плоскостью ху перпендикуляр на линию действия составляющей и найти его длину d, т. е. плечо силы относительно точки О; 4) вычислить произведение ; 5) определить знак момента силыотносительно точкиО.

Из определения момента силы относительно данной оси z следует:

1. Момент силы относительно данной оси z не изменяется при переносе точки A приложения этой силы вдоль линии ее действия, так как при этом не изменяется ни проекция силы на плоскость ху, ни ее плечо d.

2. Момент силы относительно данной оси z равен нулю в тех случаях, когда линия действия этой силы и ось г лежат в одной плоскости. При этом возможны следующие частные случаи: а) сила параллельна оси z (в этом случае ); б) линия действия силы пересекает ось z (в этом случае ).

3. Если сила перпендикулярна к оси z, то модуль ее момента относительно этой оси равен произведению модуля силы на кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью.