6.8 Сложение пар, лежащих в разных плоскостях. Условие равновесия пар

Докажем следующую основную теорему о сложении системы пар, лежащих в разных плоскостях: система пар, лежащих в разных плоскостях, эквивалентна одной паре с вектором-моментом, равным геометрической сумме векторов-моментов слагаемых пар.

Рассмотрим сначала сложение двух пар, лежащих в пересекающихся плоскостяхис векторами-моментамии(рисунок 120). Приведем эти пары к общему плечу. Для этого на линии пересечения плоскостейивыберем произвольный отрезокАВ и, перемещая каждую из пар в ее плоскости действия, приведем их к общему плечу , где,и,– соответственно силы первой и второй пары.

Сложив по правилу параллелограмма силы и. приложенные в точкеА, получим равнодействующую . Точно так же, сложив силыи, приложенные в точкеВ, получим равнодействующую . Силыиравны по модулю, параллельны (вследствие равенства и параллельности соответствующих сторон параллелограмма сил) и направлены в противоположные стороны. Таким образом, система двух данных пар (,) и (,) приводится к одной равнодействующей паре (,), лежащей в некоторой плоскостиП, не совпадающей ни с одной из плоскостей и. Найдем вектор-моментпары (,). Так как, а вектор-момент всякой пары, в том числе и пары (,), равен вектору-моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы, то

.

Но , а, поэтому окончательно получим

, (1)т. е. вектор-момент равнодействующей пары по модулю и направлению изображается диагональю параллелограмма (рисунок 100), построенного из векторов-моментов слагаемых пар. В этом и состоит доказательство теоремы о сложении двух пар, лежащих в пересекающихся плоскостях.

Если на тело действуют пар, лежащих в разных плоскостях, то, складывая эти пары в последовательном порядке и применяя каждый раз теорему о сложении двух пар (1), мы установим, что эта система пар заменится одной равнодействующей парой с вектором-моментом

, (2)где ,, …, – векторы-моменты слагаемых пар.

При сложении нескольких пар, лежащих в разных плоскостях, строят из слагаемых векторов-моментов ,, …, многоугольник, замыкающая сторона которого будет изображать вектор-момент равнодействующей пары (рисунок 101).

Если слагаемые пары расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях, то в этом случае векторы-моменты слагаемых пар будут направлены по одной прямой, перпендикулярной к этой плоскости, и их сложение сведется к алгебраической операции (см. §16). Так как система пар, лежащих в разных плоскостях, заменяется одной равнодействующей парой с вектором-моментом

, (3)то очевидно, что для равновесия этих пар необходимо и достаточно, чтобы вектор-момент этой равнодействующей пары был равен нулю, т. е.

(4)или

. (5)

Таким образом, для равновесия системы пар, лежащих в разных плоскостях, необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю геометрическая сумма векторов-моментов составляющих пар, или, иначе, чтобы многоугольник, построенный из этих векторов-моментов, был замкнут.

Из формулы (4) следует, что модуль вектора-момента равнодействующей пары должен равняться нулю, т. е. . Последнее согласно формуле (4) будет иметь место только тогда, когда,и.

Отсюда согласно формуле (5) получаем аналитическое условие равновесия системы пар, лежащих в разных плоскостях, в следующей форме

;;. (6)