6.11 Инварианты произвольной пространственной системы сил

Величины, которые не изменяются при каком-либо преобразовании, называются инвариантными по отношению к этому преобразованию. Мы видим, что модуль и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения. Поэтому главный вектор является первым инвариантом произвольной пространственной системы сил, т. е.

, (1)где – главный вектор этой системы сил для нового центра приведения О*.

Что касается главного вектора-момента , то его модуль и направление изменяются с изменением центра приведения. Но скалярное произведение главного вектора и главного вектора-момента не зависит от выбора центра приведения, т.е. является вторым инвариантом произвольной пространственной системы сил. Докажем это (см. рисунок 104). Для центра приведения О имеем

;.

Для нового центра приведения О*

;.

Докажем, что

Очевидно,

.

Второй член правой части равен нулю, так как в смешанном произведении имеются два равных множителя.

Следовательно,

, (2)что и требовалось доказать.

Так как

;

,то согласно равенству (2)

,т. е. проекция главного вектора-момента относительно нового центра приведения О* на направление главного вектора равна проекции главного вектора-момента относительно прежнего центра приведения на то же направление.

Таким образом, для произвольной пространственной системы сил мы имеем два инварианта: первым (векторным) инвариантом данной системы сил является главный вектор этой системы, вторым (скалярным) инвариантом этой системы является скалярное произведение главного вектора на главный вектор-момент, или проекция главного вектора-момента на направление главного вектора.