2.6 Аналитический метод определения равнодействующей пространственной и плоской систем сходящихся сил

Правило силового многоугольника позволяет геометрически (построением) определить модуль и направление равнодействующей данной пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся сил; равнодействующая при этом векторно определяется формулой (1, §4). Аналитическое решение этой же задачи основано на применении метода проекций и базируется на теореме о проекции равнодействующей на ось (7, §8).

Пусть мы имеем пространственную систему сходящихся сил , ,,…,, заданных своими проекциями на координатные оси, начало которых взято в точке пересечения линий действия данных сил (рисунок35). Требуется определить модуль и направление равнодействующей данной системы сходящихся сил. Обозначая проекции искомой равнодействующей на координатные оси х, у и z через , и , а проекции составляющих сил , ,,…,на те же оси заглавными буквами X, Y и Z с соответствующими индексами, на основании теоремы о проекции равнодействующей силы на ось будем иметь

;;. (1)

Отсюда, подставляя эти значения в формулу (5, §8), получим следующее выражение для модуля равнодействующей пространственной системы сходящихся сил:

. (2)

Чтобы определить направление равнодействующей , нужно найти ее углы , и с координатными осямих, y и z. На основании формулы (4, §8) будем иметь следующие формулы, определяющие направление равнодействующей :

;;, (3) где модульR равнодействующей известен из предыдущего равенства (2).

Формулы (2) и (3) полностью решают задачу об аналитическом определении равнодействующей пространственной системы сходящихся сил по заданным проекциям составляющих сил.

После того как найдены величина и направление равнодействующей пространственной системы сходящихся сил, можно найти и линию действия этой равнодействующей. Для этого надо составить уравнение прямой, проходящей через точку А (,,) пересечения линий действия данных сходящихся сил , ,,…,и имеющей направление равнодействующей этих сил. По правилам аналитической геометрии получаем это уравнение в виде:

Это следует из уравнения

.

, (4) гдеx, y, z – текущие координаты, а ,,– координаты точкиА пересечения линий действия данных сил , ,…, (рисунок36).

Если начало декартовой системы координат взято в точке пересечения данных сходящихся сил в пространстве, то уравнение (4) примет вид

.

В случае плоской системы сходящихся сил можно принять плоскость, в которой расположены линии действия всех сил этой системы, за координатную плоскость хОу, тогда проекция любой силы на ось z будет равна нулю, и будем иметь

;. (5)

Модуль равнодействующей в этом случае будет определяться по формуле

, (6) а ее направление – по формулам:

;. (7)

Чтобы получить линию действия равнодействующей плоской системы сходящихся сил, нужно найденное направление (7) провести через ту точку, в которой пересекаются линии действия всех заданных сил.