3.4 Эквивалентность пар

Докажем следующую теорему: действие пары на тело не изменится, если эту пару заменить любой другой парой, лежащей в той оке плоскости и имеющей тот же момент.

Пусть в точках N и М твердого тела (рисунок 51) приложена пара сил с плечом . Докажем, что эту пару сил можно заменить любой другой парой сил, имеющей тот же момент. Для доказательства проведем через какие-нибудь точкиD и Е тела две параллельные прямые на произвольном расстоянии друг от друга и продолжим эти прямые до пересечения их с линиями действия сил и пары в точках А и В. Перенесем точку приложения силы вдоль ее линии действия в точку А, а силы — в точку В. Разложим теперь силу по направлениям ВА и AD на силы и, а силу – по направлениям АВ и BE на силы и. Так как силы и по модулю равны и параллельны друг другу, то очевидно, что и. Но силыидействуют вдоль одной и той же прямой и, как уравновешенные (аксиомаI), могут быть отброшены (аксиома II). Силы же иможно приложить в точкахD и E, лежащих на их линиях действия. В результате пара сил будет заменена парой сил с другим плечом и другими силами.

Докажем в заключении, что момент этих пар равны. Для этого проведем линии АК и АС, соединяющие точку А с концами векторов сил и. Очевидно, что

;

.

Но у треугольников АВК и АВС основание АВ общее, а высоты одинаковы, так как линия СК параллельна АВ. Следовательно, эти треугольники равновелики и . Таким образом, мы доказали, что пару сил , действующих на твердое тело, можно заменить любой другой парой сил , имеющей тот же момент.

Из доказанной теоремы вытекают следующие свойства пары сил:

1. Действие пары на тело не изменяется, если переместить пару в другое положение в плоскости ее действия.

(Заметим, что перенос пары в ее плоскости действия, так же как и перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия, безоговорочно применим только для абсолютно твердого тела).

2. Действие пары на тело не изменится, если одновременно изменить модуль сил пары и величину ее плеча, сохраняя при этом численное значение и знак момента пары.

Из доказанной теоремы и вытекающих из нее свойств пары сил следует что две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие одинаковые по численному значению и по знаку моменты, эквивалентны, так как они могут быть преобразованы одна в другую. Эквивалентные пары могут различаться своим расположением в плоскости, модулем и направлением сил, длиной плеч, лишь бы только были одинаковы по численному значению и по знаку моменты этих пар.

Доказанная теорема позволяет решить задачу о сложении пар, расположенных в одной плоскости.