4.8 Указания к решению задач

Еще раз подчеркнем, что приступая к решению задач, относящихся к равновесию несвободного твердого тела под действием произвольной плоской системы сил, нужно:

1) выбрать тело, равновесия которого следует рассмотреть в данной задаче;

2) освободить от связей выбранное тело и заменить их действие силами реакции;

3) изобразить в виде векторов все действующие на выбранное тело (рассматриваемое как свободное) заданные силы и силы реакций от брошенных связей;

4) выбрать систему осей декартовых координат;

5) составить уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, в которые, корме активных сил, войдут и реакции связей, и решить их.

Так как тело, равновесие которого рассматривают в данной задаче, находится в покое, то все приложенные к нему силы, включая и реакции отброшенных связей, должны удовлетворять условиям равновесия, полученным в § 4.6 и 4.7. При этом нужно применять ту из форм этих условий, которая приводит к более простой системе уравнений (наиболее простой будет та система уравнений, в каждое из которых входит по одному неизвестному).

Для получения более простых уравнений равновесия нужно: а) составляя уравнения проекций, направлять одну координатную ось перпендикулярно к линии действия одной, а если возможно, и двух неизвестных сил; при этом проекция силы на эту ось обратится в нуль, а на ось, ей параллельную, сила спроектируется в натуральную величину, что облегчит решение задачи; б) составляя уравнение моментов, выбрать центр моментов в такой точке (если она есть), через которую проходят линии действия двух неизвестных сил; тогда в уравнение моментов всех сил войдет только одна неизвестная сила. При вычислении момента тоя или иной силы можно брать момент самой силы или сумму моментов составляющих ее сил (для этого необходимо силу разложить на две составляющие и воспользоваться теоремой Вариньона) в зависимости oт того, где проще определяются плечи сил.

Если из уравнений равновесия найдены реакции связей, а необходимо было найти давления, оказываемые телом на те или иные плоскости (поверхности), то необходимо учесть, что, согласно аксиоме IV, давления равны реакциям по модулю, но направлены в противоположные им стороны.

Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с помощью которых закрепляются балки или мостовые фермы. При этом, кроме балок, имеющих две опоры (имеется в виду подвижная шарнирная опора и неподвижная шарнирная опора, которые уже были рассмотрены в § 3), встречается так называемая балка-консоль. Балка-консоль имеет один свободный конец, а другой заделан (защемлен) в стену или в какую-либо массивную часть конструкции, препятствующая повороту и смещению этого конца в любом направлении (рисунок 65, а). В такой неподвижной защемленной опоре, как правило, в результате действия активных сил ,,, …,возникает сила реакции и пара, момент которой называется реактивным моментом (рисунок 65,в).

В самом деле, на заделанный конец балки-консоли со сторон опорных плоскостей ab, bc и cd (рисунок 65, б) действует система распределенных сил реакций, которая может быть приведена к одной равнодействующей реакции , модуль, направление и точка приложения которой неизвестны. Перенесем эту силупараллельно самой себе в точкуА пересечения оси балки с плоскостью стены ab. При этом сила будет эквивалентна силе, приложенной в точкеА, и присоединенной паре с неизвестным реактивным моментом (рисунок 65,в). Силу можно изобразить ее соответствующимии. Таким образом, для нахождения реакции неподвижной защемленной опоры надо определить три неизвестных величины,и. Найдем теперь эти величины.

Поскольку на рассматриваемую балку-консоль наряду с произвольной плоской системой активных сил ,, …, и сил реакций идействует лежащая в той же плоскости пара с реактивным моментом, то при составлении уравнений равновесия в уравнения проекций пара не войдет, так как сумма проекций сил пары на любую ось, очевидно, равна нулю. В уравнении же моментов к моментам сил алгебраически прибавится реактивный момент пары, так как сумма моментов сил пары относительно любого центра равна моменту пары (§ 14). Таким образом, уравнения равновесия при действии на балку-консоль указанной системы сил и пары будут

; ;.

Отсюда

; ;.

Из первых двух формул найдем модуль силы реакции:

.

В частных случаях нагружения консоли в заделке может возникнуть только сила реакции или пара. Возможен также случай, когда действующие на консоль активные силы взаимно уравновешиваются, не вызывая в заделке ни реакции, ни реактивного момента (например, когда балка-консоль нагружена двумя противоположными парами с одинаковыми моментами).

Задача 11. На балку с защемленным концом действует на участке CD равномерно распределенная нагрузка интенсивностью т/м, в точке В действует сила т под угломк балке, кроме того, на балку действует пара сил с моментомт·м.

Определить реакции заделки. Размеры указаны на рисунке 66, а.

Решение. Балка АВ является тем телом, равновесие которого мы должны рассмотреть. К ней приложена сосредоточенная сила , пара сил с моментом т и силы, равномерно распределенные вдоль отрезка CD балки АВ. Эта плоская система равномерно распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, т. е. величиной силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. В рассматриваемом случае интенсивность является величиной постоянной. При статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей , т. е. сосредоточенной силой. По модулю эта равнодействующая равна

т.

При этом сила приложена в середине О отрезка CD.

Заметим, что сосредоточенной силой называют такую силу, которая приложена к телу в какой-нибудь одной его точке. Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые в теоретической механике рассматриваются как сосредоточенные, представляют собой по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил. В инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль данной поверхности по тому или иному закону.

Связью, наложенной на балку АВ, является жесткая заделка А. Применяя принцип освобождаемости от связей к балке АВ, заменим действие этой заделки на балку силами реакций ииреактивным моментом (рисунок 66, б). Рассмотрим теперь равновесие балки АВ как сдвоенного твердого тела, на которое действуют заданные силы , и пара сил с моментом m,а также неизвестные силы реакций и и пара сил в заделке с моментом . Для составления уравнений равновесия этой произвольной плоской системы сил выбираем оси координат, как показано на рисунке 66, б, и принимаем за центр моментов точку А.

Составим уравнение равновесия произвольной плоской системы сил в форме

; ; .

В рассматриваемом случае будем иметь

; (1)

; (2)

. (3)

Из уравнения (1) находим

т.

Из уравнения (2) получаем

т.

Наконец, из уравнения (3) находим

т·м.

Задача 12. Однородный стержень АВ весом кГ в точке А закреплен шарнирно, а в точке С свободно опирается на опору С. На стержень АВ действует пара сил с моментом кг·м, а к концу его В привязана веревка, перекинутая через блок D, на конце которой висит груз весом кГ. Определить реакцию шарнира А и опоры С, если см, см, а угол (Рисунок 67,а).

Решение. Телом, равновесие которого в этой задаче рассматривается, является стерженьАВ. К нему приложена пара сил с известным моментом т и две активные силы: в точке В наклонная сила , равная по модулю весу груза, т. е.Т = Р (неподвижный блок D, не изменяя модуля силы , изменяет только ее направление), и на середине Е стержня — вертикальная сила (его собственный вес).

Связями, наложенными на стержень АВ, являются шарнир А и опора С. Так как стержень АВ свободно опирается на опору С, то реакция этой опоры направлена перпендикулярно к стержню. Неизвестную по направлению и по модулю реакцию шарнира А представляем двумя составляющими и, направленными в положительные стороны двух координатных осей Ах и Ау. При этом ось Ах направим вдоль стержня АВ, а ось Ау – перпендикулярно к нему. Отбросим связи и заменим их действие на стержень АВ реакциями , и (рисунок 67, б). Рассмотрим теперь равновесие стержня АВ как свободного твердого тела, на которое действуют активные силы ии силы реакции, и, а также пара сил с заданным моментом т. За центр моментов удобно взять точку А, так как через нее проходят линии действия двух неизвестных сил и.

Составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил в форме

; ; .

Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую координатную ось, а также моменты этих сил относительно центра моментов и приравняем к нулю эти суммы:

; (1)

; (2)

. (3)

Из уравнения (1) находим

кГ.

Из уравнения (3) получаем

кГ.

Из уравнения (2) находим

кГ.

Знак «минус» при показывает, что сила реакцииимеет направление, противоположное показанному на чертеже.

Задача 13. Между опорами двухконсольной горизонтальной балки CD (рисунок 68, а) приложена пара , к левой консоли – равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, а в точке D правой консоли – вертикальная нагрузка т, Определить реакции опор, еслит,т/м, м.

Решение. Двухконсольная балкаCD является тем телом, равновесие которого мы должны рассмотреть. К ней приложена пара сил с моментомт=Ра и две активные силы: в точке D сила и на середине левой консоли сила , являющаяся равнодействующей равномерно распределенной нагрузки (смотри задачу 11). Следовательно, все приложенные к балке CD активные силы являются вертикальными, так как пару сил , не изменяя ее действия на балку, можно повернуть в плоскости рисунка так, чтобы составляющие парусилыибыли вертикальны.

Связями, наложенными на балку CD, являются подвижная шарнирная опора В и неподвижная шарнирная опора А. Отбросим эти связи и заменим их действие на балку CD силами реакций. Реакция подвижной шарнирной опорыВ нормальна к плоскости опоры (рисунок 68, б). Так как все действующие на балку CD активные силы вертикальны, то реакция неподвижной шарнирной опорыА также вертикальна. Рассмотрим теперь равновесие двухконсольной балки CD как свободного твердого тела, на которое действует указанная плоская система параллельных сил (рисунок 68, б). Для составления уравнений равновесия этой системы сил в форме

;

последовательно примем за центр моментов точки А и В. При этом уравнения моментов будут содержать только одно неизвестное.

Итак, в данном случае будем иметь

; (1)

. (2)

Решая порознь уравнения (1) и (2), найдем

т; т.