6.4 Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей

Момент данной силы относительно точкиО(рисунок 93) определяется, как мы уже знаем, но формуле

(1)

где – радиус-вектор точкиАприложения силы.

Формула разложения вектора по координатным осямх, yиzбудет иметь вид

, (2) где,,– единичные векторы координатных осейОх, ОуиОz.

Как известно из векторной алгебры, векторное произведение можно представить символически через определитель:

, гдех, у, z– координаты точкиАприложения силы, или проекции радиус-вектораточкиАна оси координатОх, Оу, Оz, аX, У, Z. – проекции силына те же оси координат.

Таким образом, получим для вектора-момента силы относительно точкиО, принимаемой нами за начало координат, следующее выражение:

.

Разлагая детерминант по элементам первой строки, получим разложение вектора покоординатным осям в несколько ином виде:

.

Сравнивая это равенство с формулой (2), получим проекции вектора на оси координат:

;

;

.

Но согласно формуле (4, §33) можно получить следующее аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей:

(3)

С помощью этих формул момент силы относительно оси можно вычислить, зная проекции силы и координаты точки ее приложения.

Задача18.Силарасположена в плоскостиАВСD, параллельной координатной плоскостиОхz, и наклонена к горизонту под углом α; при этом,(рисунок 94). Определить момент силыотносительно каждой оси координат.

Решение. Найдем моментсилыотносительно осиx.Для вычисленияпроектируем силуна плоскостьОyz; получаем

.

Плечо силы относительно точкиОравноb, а поворот ее с конца осихвиден происходящим по ходу часовой стрелки, следовательно

.

Момент силыотносительно осихможно вычислить аналитически по формуле

, (4) где подуиzбудем понимать координаты точкиВ, для которой,

(так как х, у, zв формулах (3) являются координатами любой точки на |линии действия силы(точку приложенияАсилыможно переносить вдоль линии действия силы), то для удобства вычислений следует выбирать точку (х, у, z) так, чтобы одна или несколько координат ее обращались в нуль).

Проекции силы на осиzиубудут

;.

Подставляя эти значения в формулу (4), получим тот же результат:

но только при этом знак момента получается в результате применения формулы (4).

Найдем теперь момент силыотносительно осиу. Так как силалежит в плоскости, перпендикулярной к осиу, то

, где– плечо силы. Знак "минус" стоит потому, что поворот силыс конца осиувиден происходящим по ходу часовой стрелки.

Вычислим теперь аналитически по формуле

, (5) гдеzиx– координаты точкиВ, для которой,.

Проекции силы на осихиzбудут

; .

Подставляя эти значения в формулу (5), получим тот же результат

, при этом знак момента получается в результате применения формулы (5).

Наконец, найдем момент силыотносительно осиz. Проекция силына плоскостьхуравна

, а ее плечо относительно точкиОравноb. Поворот силыс конца осиzвиден происходящим по ходу часовой стрелки, следовательно:

.

Вычислим теперь аналитически по формуле

, (6) где подхиубудем понимать координаты точкиD, для которой. Проекции силына осиОхиОубудут

;.

Подставляя эти значения в формулу (6), получим тот же результат

,при этом знак момента также получается в результате применения формулы (6).