6.16 Равновесие твердого тела с одной и с двумя закрепленными точками. Указания к решению задач

1. Равновесие твердого тела с одной закрепленной точкой. Выведенные в § 6.15 условия равновесия, а также установленные нами ранее условия равновесия для частных случаев расположения сил являются условиями равновесия свободного твердого тела.

На практике мы обычно имеем дело с телами несвободными. Примером несвободного тела может служить тело с одной неподвижной точкой. Неподвижное закрепление точки тела можно осуществить, например, при помощи сферического шарнира, т. е. приспособления, обеспечивающего неподвижность точки закрепления тела и допускающего возможность поворота тела вокруг любой оси, проходящей через эту точку.

Пусть на твердое тело с одной закрепленной точкой О (рисунок 111) действует произвольная пространственная система сил . Под действием этой системы сил возникает сила реакции, неподвижно закрепленной точкиО, которая служит связью. Эта реакция неизвестна ни по модулю, ни по направлению. Выбирая начало координат в неподвижной точке, разложим реакцию на три составляющие,,и, имеющие направление осей координат. Отбрасывая связь и заменяя ее действие на тело реакциями,и, можно данное несвободное тело рассматривать как свободное и написать для него шесть соотношений равновесия:

(1)

Моменты силы относительно всех трех координатных осей равны нулю, так как силапересекает все эти три оси. Поэтому в последние три соотношения входят только активные силы. Те из соотношений (1), в которые не входит реакция связиназываютсяусловиями равновесия. В последние три соотношения проекции реакции закрепленной точки не входят. Следовательно, эти три соотношения являются условиями равновесия, которым должны удовлетворять активные силы, действующие на тело, чтобы оно оставалось в равновесии.

Соотношения (1), в которые реакция связи входит, называютсяуравнениями равновесия. В первые три соотношения проекции реакции закрепленной точки входят, поэтому эти соотношения являются уравнениями равновесия, из которых можно определить проекции ,и неизвестной реакции и, следовательно, можем найти и реакцию .

2. Равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками. Неподвижное закрепление двух точек А и В тела можно осуществить, например, при помощи сферических шарниров или подпятников (рисунок 112, а). Ясно, что прямая, проходящая через точки А и В, также будет неподвижной. Эта прямая называется осью вращения. Тело в этом случае имеет возможность поворачиваться вокруг оси вращения. Примем точку А за начало координат и направим ось z по оси вращения АВ. Расстояние между точками А и В обозначим черезh. Пусть на это тело действует произвольная пространственная система сил . Тогда в результате действия на тело сил этой системы в точках закрепления А и В возникнут силы реакций и. Разложим эти неизвестные по модулю и направлению реакций на составляющие по осям координат. Обозначим эти составляющие соответственно через,,и,,. Отбрасывая связи и заменяя их действие на тело реакциямии, можно данное несвободное тело рассматривать как свободное и написать для него шесть соотношении равновесия (моменты силыотносительно координатных осей равны нулю, так как эта сила пересекает все эти три оси):

(2)

В последнее из соотношений (2) неизвестные силы реакций закрепленных точек А и В не входят. Следовательно, это соотношение является условием равновесия, которому должны удовлетворять заданные силы , действующие на тело, чтобы оно оставалось в равновесии.

Первые пять соотношений содержат силы реакций, поэтому они будут являться уравнениями равновесия. Эти пять уравнений равновесия служат для определения шести проекций ,,,,,неизвестных реакцийи. Одна неизвестная является лишней. Следовательно, задача будет статически неопределимой. Эта статическая неопределимость устраняется, если предположить, что в одной из точек закрепления, например в точкеВ, имеется подшипник (рисунок 112, б).

3. Указания к решению задач. Задачи этой главы можно разбить на два основных типа:

1) задачи, относящиеся к равновесию произвольной пространственной системы сил;

2) задачи, относящиеся к приведению произвольной пространственной системы сил к простейшему виду.

Принцип решения задач первого типа остается тем же, что и для произвольной плоской системы сил. Установив, равновесие какого тела будет рассматриваться, отбрасывают наложенные на тело связи, заменяют их действие на тело соответствующими силами реакций и составляют уравнения равновесия этого тела, рассматривая его как свободное. Задачи этого типа решаются при помощи шести уравнений равновесия (в частном случае, когда все заданные силы и реакции связей параллельны, имеем три уравнения равновесия). При составлении уравнений равновесия для определения проекций сил на координатные оси нужно воспользоваться указаниями, данными в §24.

Новым элементом при решении задач первого типа в составлении уравнений равновесия является вычисление моментов сил относительно осей координат. Ось моментов рекомендуется выбирать лежащей в плоскости одной из неизвестных сил. Тогда момент этой силы относительно данной оси будет равен нулю.

Момент силы относительно координатной оси можно вычислить двумя способами: 1) аналитически, пользуясь формулами (3, §34), выражающими искомый момент силы через проекции этой силы на координатные оси и через координаты ее точки приложения;

2) геометрически, проектируя данную силу на координатную плоскость, перпендикулярную к этой оси, и вычисляя момент этой проекции относительно начала координат.

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие, из которых одна параллельна какой-нибудь координатной оси. Затем нужно воспользоваться теоремой Вариньона о моменте равнодействующей.

При решении задач второго типа рекомендуется придерживаться следующего порядка:

1. Принимаем выбранный нами центр приведения за начало координат и направляем координатные оси так, чтобы, можно было проще определять проекции сил на оси и моменты сил относительно этих осей.

2. Определяем проекции главного вектора данной системы и ее главного вектора-моментана каждую из трех координатных осей.

3. Устанавливаем, к какому простейшему виду приводится данная система сил:

А. Если окажется равной нулю каждая проекция на координатные оси и не равной нулю хотя бы одна проекция на те же оси, то , , и данная система сил приводится к одной паре, вектор-момент которой равен главному вектору-моменту данной системы сил относительно выбранного центра приведения О (начала координат). В этом случае остается найти модуль и направляющие косинусы главного вектора-момента по формулам (9, 10, §39).

Б. Если хотя бы одна из проекций на координатные оси не равна нулю, а каждая проекция на те же оси равна нулю, то , , и данная система сил приводится к равнодействующей, равной главному вектору , линия действия которой проходит через центр приведения О. В этом случае остается вычислить модуль и направляющие косинусы этой равнодействующей по формулам (6, 7, §39).

В. Если хотя бы одна из проекций на координатные оси и хотя бы одна из проекций на те же оси не равны нулю, то , . Если при этом окажется, что , т. е. главный вектор-момент окажется перпендикулярным к главному вектору , то данная система сил также приводится к равнодействующей, равной главному вектору . При этом модуль и направляющие косинусы равнодействующей определяются но тем же формулам (6, 7, §6.9). В данном случае точка А приложения равнодействующей, как известно, не совпадает е центром приведения О. Положение точки А приложения равнодействующей силы может быть определено после определения положения при помощи формул (10, §39). Точка А будет лежать на перпендикуляре к векторам и на расстоянии . При этом перпендикуляр необходимо восставлять в ту сторону, откуда наблюдателю, расположенному по главному вектору-моменту , поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки.

Г. Если же окажется , т. е. если и и, кроме того, не перпендикулярен к , то данная система сил приводится к динаме. В этом случае нужно найти точку А, через которую проходит центральная ось данной системы сил, а также модуль вектора-момента относительно этой точки. Модульвектора-моментадинамы определяется по формуле (1, §42).

Так как центральная ось данной системы сил параллельна главному вектору этой системы, то направление центральной оси необходимо определить по формулам (7, §39).

Координаты х и у точки пересечения центральной оси с плоскостью хоу определяются уравнениями центральной оси (4, §42) после подстановки в них .

Задача 19. Систему двух сил кГ, направленную по оси Оz, и кГ, направленную параллельно оси Оу, как указано на рисунке 113, где м, требуется привести к простейшему виду, определив главный вектор и вектор-момент динамы . Найти координаты х и у точки пересечения центральной оси с плоскостью Оху.

Решение. За центр приведения возьмем точку О, которую примем за начало координат; координатные оси Оx, Оу, Oz направим так, как показано на рисунке 113.

Чтобы определить для данной системы сил главный вектор и главный вектор-момент относительно точки О, найдем проекции этих векторов на координатные оси.

Для проекций главного вектора на координатные оси имеем

;;.

Так как точка приложения силы лежит на осиОх и сила параллельна осиОу , а точка приложения силы лежит на осяхОх и Оу и сила направлена вдоль осиОz, то

;;

,а поэтому для проекций главного вектора-момента на координатные оси имеем

;;.

По найденным проекциям главного вектора определим его модуль и направляющие косинусы:

кГ;

;;

.

Далее находим модуль главного вектора-момента и его направляющие косинусы:

кГм;

;;

.

Так как главный вектор данной системы сил не равен нулю, то эта система не может быть приведена к одной паре. Поэтому остается установить, приводится ли система, состоящая из главного вектора , приложенного в точке О, и пары с вектором-моментом, равным главному вектору-моменту , к равнодействующей или к динаме. Для этого составим выражение для второго инварианта:

.

Так как второй инвариант нулю не равен, то главный вектор-момент не перпендикулярен к главному вектору , и, следовательно, данная система из двух сил приводится к динаме (рисунок 114, а).

Чтобы найти положение центральной оси, составим уравнения (4, §42), которые в рассматриваемой задаче примут вид

,или

;

.

Если положим в этих уравнениях , то найдем координаты точкиА пересечения центральной оси с координатной плоскостью хОу (рисунок 114, б):

;.

ТочкуА пересечения центральной оси с плоскостью хОу можно найти и другим путем. Для этого найдем модуль вектора-момента (рисунок 114,а):

кГм.

Представляя вектор-момент в виде пары (), которую он изображает, найдем точкуА, принадлежащую центральной оси:

м,

т. е. центральная ось данной системы сил проходит через точку А с координатами

;.

Теперь найдем модуль М* вектора-момента данной системы сил относительно любой точки, лежащей на центральной оси (наименьший главный вектор-момент). Разложим по правилу параллелограмма главный вектор-момент относительно точки О на две составляющие (рисунок 114, а): , параллельную , и перпендикулярную . Заметим, что первая составляющая является искомым наименьшим главным вектором-моментом. Проекция главного вектора-момента на направления главного вектора определяется по формуле

.

Подставляя сюда найденное значение второго инварианта и модуля главного вектора, получим

кГм.

Так как в данном случае , то параллельные векторыинаправлены в одну сторону.