5.5. Способ разрезов фермы

В этом параграфе рассмотрим аналитический способ определения усилий в стержнях фермы, называемый способом разрезов фермы, или способом Риттера.

Применим этот способ к расчету фермы, изображенной на рисунке 90, а. К этой ферме приложены две активные силы: вертикальная и горизонтальная. Размеры фермы указаны на рисунке 90,б. Требуется найти усилия в стержнях этой фермы.

Определим сначала опорные реакции. Неподвижная шарнирная опора I имеет две составляющие реакции: горизонтальную , и вертикальную. Подвижная же опораII имеет только вертикальную реакцию . Для определения этих опорных реакций составим три уравнения равновесия всех действующих на ферму сил (активных сил и опорных реакций) в форме

;

;

.

Из этих уравнений находим

; ;.

Переходим теперь к определению усилий в стержнях фермы. Для этого мысленно разрежем ферму на две части, проведя сечение тп, например, через стержни 6, 7 и 5. После этого удалим мысленно одну из частей фермы, например левую, и рассмотрим оставшуюся правую часть. Для того чтобы равновесие оставшейся части фермы не нарушилось, необходимо согласно принципу освобождаемое™ заменить действие существовавших ранее связей их реакциями, т. е. реакциями S₀, S-, и S₈ перерезанных стержней 6, 7 и 8 на узлы V и VII (рисунок 89, б). Реакция каждого стержня фермы может быть направлена только вдоль стержня, от узла, если стержень растянут, и к узлу, если он сжат. Заранее мы не знаем, какие из стержней растягиваются, а какие сжимаются. Поэтому будем считать предварительно все стержни растянутыми, т. е. будем направлять их реакции от узла, как показано на рисунок 89, б. Знак «минус» перед модулем найденной реакции стержня будет показывать, что действительное ее направление обратно принятому, т. е. на то, что стержень сжат.

Таким образом, рассматриваемая часть фермы находится в равновесии под действием произвольной плоской системы из пяти сил: , ,,и. Так как для произвольной плоской системы сил можно составить только три независимых уравнения равновесия, то производить сечение фермы нужно таким образом, чтобы при этом перерезалосьне более трех стержней с неизвестными реакциями. Для определения искомых реакций стержней удобнее всего составлять уравнения равновесия в форме уравнений моментов, беря последовательно за центры моментов точки, в которых пересекаются два из трех перерезанных стержней. При этом в каждое из этих уравнений равновесия будет входить только одна неизвестная сила реакции перерезанного стержня. В тех случаях, когда плечи сил относительно центров моментов вычислить трудно, их можно находить графически, вычертив схему рассматриваемой части фермы в определенном масштабе.

Если из трех перерезанных стержней два параллельны и, следовательно, точка пересечения их лежит в бесконечности, то вместо третьего уравнения моментов составляют уравнение проекций сил на ось, перпендикулярную к параллельным стержням.

Пусть по условию задачи требуется определить реакцию перерезанного стержня 8, зная и и не определяя неизвестных реакцийии двух других перерезанных стержней6 и 7. Для этого нужно составить такое уравнение равновесие произвольной плоской системы сил , ,,,, в которое неизвестныеии не входили бы. Мы достигнем этой цели, если составим уравнение моментов относительно точкиVII, в которой пересекаются линии действия сил и, а именно:

.

Из этого уравнения равновесия находим

, (1)

где , а и h – положительные числа. Если при этом и будет положительным числом, то знак «минус», стоящий в правой части соотношения (1), указывает на то, что на самом деле реакцияS₈ имеет направление, обратное показанному на рисунок 89, б, т. е. стержень 8 сжат.

Если же нам требуется определить усилие в стержне 6, не зная усилий в других стержнях (7 и 8), то нужно составить уравнение моментов относительно точки IV:

.

Из этого уравнения равновесия находим

.

Если , то, и, следовательно, стержень6 будет растянут.

Наконец, если нам при том же сечении фермы потребуется найти , не знаяи, то нельзя использовать уравнение моментов, ибо силы ипараллельны (не пересекаются), и, следовательно, нет той точки, относительно которой их моменты одновременно равнялись бы нулю. Поэтому мы составляем уравнение проекции на ось, перпендикулярную к силами, а именно:

.

Из этого уравнения равновесия находим

.

Если , то, и, следовательно, стержень7 будет сжиматься.

Преимущества изложенного способа перед графическими способами заключаются в том, что этот способ позволяет определить усилие в любом стержне фермы независимо от усилий в прочих стержнях. А применяя графические способы, нам для нахождения усилия в одном определенном стержне требовалось найти усилия во всех стержнях, сходящихся в последующих узлах.

Недостатки способа разрезов фермы заключаются в том, что точки пересечения перерезанных стержней, относительно которых берутся моменты, могут находиться и вне пределов чертежа.