7.2 Центр тяжести

Как известно, на каждую i-ю частицу тела, находящегося вблизи земной поверхности, действует направленная вертикально вниз сила , называемаясилой тяжести.

Строго говоря, силы тяжести , приложенные ко всем частицам тела, представляют собой систему сходящихся сил, так как линии действия этих сил пересекаются в одной точке – приблизительно в центре Земли. Однако для тел, размеры которых малы по сравнению с земным радиусом, силы тяжестивсех частиц тела можно считать параллельными друг другу и сохраняющими вблизи земной поверхности постоянную величину при любых поворотах тела. Поле силы тяжести, в котором выполняются эти два условия, называетсяоднородным полем силы тяжести.

Обозначим через равнодействующую параллельных сил тяжести. Модуль этой равнодействующей равен весу тела и определяется равенством

. (1)

Равнодействующая параллельных сил тяжестибудет при любых положениях тола проходить через одну и ту же неизменно связанную с телом точкуС, являющуюся центром параллельных сил тяжести . Эта точка и называетсяцентром тяжести тела.

Таким образом, на основании свойства центра параллельных сил можно заключить, что центр тяжести твердого тела обладает тем свойством, что через него проходит линия действия равнодействующей параллельных сил тяжести отдельных его частиц, независимо от расположения тела в пространстве (согласно определению, центр тяжести – это геометрическая точка, которая в частных случаях (например, для кольца) лежит вне пределов тела).

Это свойство позволяет экспериментально определить центр тяжести неоднородного тела сложной конфигурации согласно следующему правилу: достаточно подвесить тело к нити в некоторой точке и построить продолжение нити в теле, затем подвесить тело к нити в некоторой другой точке и также построить продолжение нити в теле, тогда пересечение построенных линий определит центр тяжести этого тела.

Установим теперь аналитические формулы для нахождения координат центра тяжести тела.

Согласно §47 имеем следующие формулы для определения координат центра тяжести тела:

;;, (2)где ,,, – координаты точек приложения сил тяжести, частиц тела.

Если обозначим массу тела через М, а массы отдельных его частиц – через ,, …,то будем иметь,(), гдеg – ускорение силы тяжести.

Подставив эти значения в выражения (2), получим

;;, (3)так как в числителе g как общий множитель выносится за скобку и сокращается с g в знаменателе.

Точка, координаты которой определяются формулами (3), называется центром масс или центром инерции тела.

Положение центра масс зависит лишь от распределения масс в теле и является одной из характеристик этого распределения.

В то время как понятие о центре тяжести имеет смысл только для тела, помещенного в однородное поле силы тяжести, понятие центра масс не связано с понятием о силовом поле, в которое помещено тело, и в этом смысле является более общим.

Для тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, положение центра тяжести и центра масс совпадает.

Если тело однородно, то отношение веса i-ой частицы к ее объему , постоянно, т. е.

, где – вес единицы объема.

Заменяя в равенствах (2) веса отдельных частиц тела через,а вес телаР через , гдеV – объем всего тела, имеем

;;, (3)так как в числителе как общий множитель выносится за скобку и сокращается св знаменателе.

Как видно, центр тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, а от величины не зависит. По этой причине точкуС, координаты которой определяются формулами (4), называют центром тяжести объема V.

Выражения ;;называются статическими моментами объема относительно плоскостейуОz, хОz и хОу.

Если тело представляет собой однородную тонкую пластинку постоянной толщины, имеющую очертание плоской фигуры, то в этом случае аналогично будем иметь

;, (5)где S – площадь всей пластинки, а – площади отдельных ее частей (цен координатхОу расположены в плоскости пластинки).

Точку С, координаты которой определяются формулами (5), называют центром тяжести площади S.

Величины иназываютсястатическими моментами плоской фигуры относительно осей у и х. Статический момент плоской фигуры относительно оси х или y может быть величиной положительной, отрицательной и равной нулю, если ось проходит через центр тяжести плоской фигуры. В самом деле, из равенств (5) следует, что если , то; прии.

Точно так же получаются формулы для координат центра тяжести линии (согнутая из проволоки кривая)

;;, (6)где L – длина всей линии, – длины отдельных ее частей.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.