5.4 Способ вырезания узлов

Поскольку под действием активных сил и опорных реакций ферма в целом находится в равновесии. (ферма при этом принимается на основании принципа отвердевания за абсолютно твердое тело), то в равновесии должен находиться и каждый мысленно вырезанный ее узел. В число сил, приложенных к вырезанному узлу, входят реакции перерезанных стержней, равные по модулю искомым усилиям в этих стержнях, а также заданные силы и опорные реакции. Так как силы, приложенные к вырезанному узлу, уравновешиваются, то построенный из этих сил силовой многоугольник является замкнутым. Построив замкнутые силовые многоугольники для каждого вырезанного узла фермы, можно графически определить усилия во всех стержнях этой фермы. Эта задача может решаться и аналитически — путем составления и решения уравнений равновесия для сил, приложенных к каждому вырезанному узлу фермы. Обычно при пользовании способом вырезания узлов решают задачу графически, так как такое решение проще, нагляднее и скорее приводит к цели. При этом первым нужно вырезать тот узел, в котором соединяются только два стержня. Обычно такими бывают узлы на опорах. Затем уже нужно переходить к следующим узлам, следа за тем, чтобы в очередном узле было не более двух стержней с неизвестными еще реакциями.

В качестве примера используем способ вырезания узлов к ферме, изображенной на рисунке 89, а. Эта ферма имеет одну неподвижную шарнирную опору I и одну подвижную опору II. К ферме приложена одна активная вертикальная сила . Требуется графически, способом вырезания узлов, определить усилия в стержнях этой фермы. В этой ферме число узлов, а число стержней. Следовательно, соотношенийвыполняется, и ферма является статически определимой, без лишних стержней.

Прежде чем приступить к определению усилий в стержнях фермы по способу вырезания узлов, определяют сначала опорные реакции. Это можно сделать или аналитически из трех уравнений равновесия, в которые, кроме заданных сил, войдут и опорные реакции, или графически — построением замкнутых силового и веревочного многоугольников. В данном случае горизонтальная составляющая реакции в неподвижной опоре равна, понятно, нулю. Что касается вертикальных реакций этого шарнира и подвижной опоры, то вследствие полной симметрии эти реакции, очевидно, равны между собой, и, следовательно, каждая из них равна по модулю или. Обозначим эти реакции через и (рисунок 89, б).

Определив опорные реакции, переходим к вырезанию узлов. Вырежем сначала узел I. К этому узлу приложены три силы: известная опорная реакция и две реакции иперерезанных стержней1 и 2. Рассматривая эти силы как находящиеся в равновесии, строим для них замкнутый силовой треугольник (рисунка 89, в). Для этого выбираем определенный масштаб сил и в этом масштабе из произвольно выбранной точки проводим вектор, изображающий известную силу . Из концов этого вектора проводим прямые, параллельные стержням 1 и 2, до их пересечения. Точка пересечения этих прямых определяет третью вершину силового треугольника, а длины его сторон определяют модули и, реакцийистержней1 и 2, равные искомым усилиям в этих стержнях (рисунок 89, в). Так как направление силы нам известно, то, обходя треугольник по периметру в направлении силы расставим в нем стрелки и определим тем самым направление искомых реакций и. Если мысленно перенести векторыина стержни1 и 2, сходящиеся в узле I, то мы заметим, что реакция направлена по стержню1 к этому узлу, следовательно, стержень 1 сжат; реакция же направлена по стержню2 от узла, следовательно, стержень 2 растянут. Обычно принято растягивающим усилиям условно приписывать знак «плюс», а сжимающим — знак «минуc». После узла вырежем узел III (в этом примере безразлично, к какому узлу переходить после узла. Однако это не всегда так. Последовательность перехода от узла к узлу всегда выбирается так, чтобы в рассматриваемом узле было не больше двух неизвестных усилий) В этом узле сходятся стержни 3 и 5, реакции в которых еще неизвестны, и стержень 2, реакция которого уже найдена. Строим для этих трех сходящихся сил замкнутый силовой треугольник в том же масштабе (рисунок 89, г). Построение этого силового треугольника нужно начинать с построения известных сил. При этом необходимо обратить внимание на то, что реакция стержня2, приложенная к узлу III, очевидно, равна по модулю и направлена противоположно реакции этого же стержня, приложенной к узлуI, т. e. Чтобы построить теперь силовой треугольник для узлаIII, проводим из произвольной точки вектор, изображающий известную силу , далее из начала и конца векторапроводим прямые, параллельные стержням5 и 3, до их пересечения. Длины сторон полученного замкнутого силового треугольника, параллельных стержням 3 и 5, определяют модули искомых усилий ив этих стержнях. Обходя этот силовой треугольник по его периметру в направлении известной силы, находим направление сили. Так как вектор, как видим из чертежа, направлен к узлуIII (если мысленно перенести этот вектор на стержень 3), то отсюда заключаем, что стержень 3 сжат. Вектор направлен от узлаIII, следовательно, стержень 5 растянут.

Остается рассмотреть узел II, в котором уравновешиваются известная опорная реакция известная реакциястержня5 и неизвестная еще реакция стержня4. Строим для этих трех сходящихся сил замкнутый силовой треугольник (рисунок 89, д) в том же масштабе и по тем же правилам, что и ранее. Так как вектор , как видим из чертежа, направлен от узлаII (если мысленно перенести этот вектор на стержень 4), то отсюда заключаем, что стержень 4 сжат. Вектор направлен от узлаII, следовательно, стержень 5 растянут. Построением этих силовых треугольников заканчивается определение усилий во всех стержнях данной фермы.

К последнему узлу IV приложена заданная сила и уже найденные реакции, и стержней1, 3 и 4. Все же рекомендуется в целях контроля строить силовой треугольник и для последнего узла. При правильности произведенных ранее построений этот силовой треугольник, построенный для известных уже сил, должен получаться замкнутым.