4.6 Условия равновесия произвольной плоской системы сил

Выше было установлено, что произвольная плоская система сил, если она не находится в равновесии, приводится или к одной равнодействующей (когда ), или к одной паре (когда ).

Однако в результате приведения произвольной плоской системы сил может оказаться,, что одновременно главный вектор этой системы сил и главный момент ее относительно центра приведения равны нулю, т. е.

; ,

или

; ,

где 0 — любая точка плоскости.

Условия (1) являются необходимыми и достаточными условиями равновесия произвольной плоской системы сил. В самом деле, условия (1) являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то рассматриваемая система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда ), или к паре (когда ), и, следовательно, эта система сил не будет находиться в равновесии. Одновременно условия (1) являются достаточными, потому что при произвольная плоская система сил может приводиться только к паре с моментом , а так как, то эта система сил будет находиться в равновесии.

Таким образом, для равновесии произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно и главный вектор, и главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра приведения равнялись нулю.

Найдем теперь вытекающие из равенств (1) аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил.

В § 4.2 было установлено, что

; ;

отсюда следует, что и обращаются в нуль в том и только в том случае, когда

; ; . (2)

Эти равенства выражают следующие аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и. достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из двух любым образом выбранных в плоскости действия этой системы сил координатных осей и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки той оке плоскости были равны нулю.

Одновременно равенства (2) выражают необходимые и достаточные условия равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием произвольной плоской системы сил (предполагается, что до приложения указанной системы сил рассматриваемое тело находилось в состоянии покоя относительно выбранной системы отсчета).

Равенства (2) являются основной формой условий равновесия произвольной плоской системы сил. Они могут быть выражены и в другом виде.

Докажем, например, следующую теорему о трех моментах: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех сил относительно каждой из трех любых точек А, В и С, взятых в плоскости действия этой системы сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

; ;. (3)

Необходимость этих условий очевидна, так как при равновесии произвольной плоской системы сил алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки, взятой в плоскости действия этой системы сил, должна равняться нулю. Докажем, что эти условия и достаточны.

Возьмем за центр приведения точку А. По условию доказываемой теоремы

, (4)

поэтому для рассматриваемой системы сил должно быть . Если при этом главный вектор , то в этом случае данная система сил приводится только к одной равнодействующей силе . Согласно теореме Вариньона и условию (4) будем иметь

,

что может быть в двух случаях: или когда равнодействующая сила , или когда ее линия действия проходит через точкуА (тогда плечо равнодействующей будет равна нулю).

Предположим, что . Взяв последовательно за центры приведения точки В и С и принимая во внимание условия

; ,

мы также установим, что линия равнодействующей пройдет и через точкиВ и С. А это невозможно, так как точки А, В и С не лежат на одной прямой. Следовательно при выполнении условий (3) обязательно должно быть , и, следовательно, произвольная плоская система сил при выполнении условий (3) будет находиться в равновесии.

Докажем теперь, что условия равновесия произвольной плоской системы сил можно сформулировать так: для равновесии произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно. чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из двух любых точек А и В, взятых в плоскости действия этой системы, и алгебраическая сумма проекций всех этих сил на любую ось Ox, не перпендикулярную к прямой, проходящей через точки А и В, были равны нулю:

; ;. (5)

Необходимость этих условий вытекает из того, что при равновесии произвольной плоской системы сил равны нулю как алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки, взятой в плоскости действия этой системы, так и алгебраическая сумма проекции всех сил на любую ось.

Докажем достаточность этих условий. Для этого примем последовательно точки А и В за центры приведения. Если для рассматриваемой системы сил выполняются первые два из условий (5), то ,. При этом данная система сил, как мы уже знаем из § 4.3, может не находиться в равновесии, а иметь равнодействующую , одновременно проходящую через точки А и В (рисунок 63). Но согласно третьему условию должно быть . Так как ось Ох есть произвольная прямая, не перпендикулярная к АВ, то это последнее условие может быть выполнено, если равнодействующая будет равна нулю , и, следовательно, произвольная плоская система сил при выполнении условий (5) будет находиться в равновесии.