3.3 Пара сил. Момент пары сил

Мы уже знаем, что система двух сил, как угодно расположенных в одной плоскости, приводятся к одной равнодействующей силе; исключением является система двух взаимно уравновешивающихся сил. В этом параграфе мы установим, что другим исключением является система двух равных по модулю параллельных друг другу и направленных в разные стороны сил и , линии действия которых не совпадают (рисунок 46). Такая система двух сил образует так называемую пару сил, или просто пару, для обозначения которой будем пользоваться символом .

Плоскость в которой расположена пара сил, называется плоскостью действия пары.

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары , т. е. длина перпендикуляра, опущенного из точки приложения А одной из сил пары на линию действия второй силы, называется плечом пары d.

(Плечо пары d не следует смешивать с расстоянием l между точками приложения сил пары. Однако, перемещая точку приложения каждой силы пары вдоль линий действия силы, всегда можно расположить пару так, что расстояние между точками приложения сил одновременно будет и плечом.).

Напомним, что от сложения двух параллельных сил. неравных по модулю и направленных в противоположные стороны, получается равнодействующая, модуль и положение линий действия которой определяется по формуле:

(>); .

Предположим теперь, что , тогда

и

,

т. е. равнодействующая пары сил равна нулю, а точка ее приложения находится в бесконечности. Этот результат указывает на то, что пара сил не имеет равнодействующей, т.е. ее нельзя заменить одной силой, ей эквивалентной. Вместе с тем силы, составляющие пару сил, не находятся в равновесии, так как на основании аксиомы I две противоположные силы уравновешиваются только тогда, когда они действуют по одной прямой, а в данном случае силы имеют различные линии действия.

Пара сил не может быть уравновешена одной силой. Это вытекает из того, что если бы пара уравновешивалась одной силой, то на основании следствия II (см. § 2) она имела бы равнодействующую, что невозможно.

Так как силы, составляющие пару, не находятся в равновесии, не имеют равнодействующей и не могут быть уравновешены одной силой, то пара сил занимает среди других систем сил особое место. В механике, наряду с силой, приходится рассматривать пару сил как самостоятельный, неприводимый элемент.

Непосредственный опыт показывает, что пара сил, приложенная к твердому телу, способна привести его во вращательное движение, если только этому не препятствуют наложенные на данное тело связи.

Вращательное действие пары на тело будет тем больше, чем больше плечо пары и модули сил, образующих эту пару, и измеряется так называемым моментом пары. При этом численное значение момента пари определяется как произведение модуля одной из сил пары на плечо этой пары.

Для полной характеристики вращательного действия на тело пары, лежащей в данной плоскости, нужно, кроме численного значения момента, знать еще и направление вращения, которое пара стремится сообщить телу. Будем считать положительным момент такой пары которая стремится повернуть тело против направления вращения часовой стрелки, и отрицательным — момент такой пары, которая стремится повернуть тело по направлению вращения часовой стрелки. Так, например, пара , изображенная на рисунке 47, имеет положительный момент, а пара , изображенная на рисунке 48, имеет отрицательный момент.

В данной главе будут рассматриваться свойства пар, расположенных в одной плоскости. Для этого случая по аналогии с моментом силы относительно точки можно ввести следующее определение момента пары: моментом пары называется скалярная величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо. Будет обозначать момент пары символом m или m . Тогда

.

Очевидно, что момент пары равен моменту одной из ее сил относительно точки прилежания другой (рисунок 47, 48):

(Понятие момента пары не следует смешивать с моментом силы. Понятие момента силы связано с точкой, относительно которой берется этот момент. Момент пары ни с какой точкой плоскости не связан.).

. (1)

Заметим, что момент пары, так же как и момент силы относительно точки, можно принимать за скалярную алгебраическую величину лишь в тех случаях, когда мы имеем дело с плоской системой сил. в случае же пространственной системы сил правило знаков момента пары теряет свой смысл (Момент пары в этом случае рассматривается как вектор).

Отметим, что геометрически численное значение момента пары выражается в виде удвоенной площади треугольника, основанием которого является одна из сил пары, например , а высотой – плечо пары d (рисунок 49):

.

Размерность единицы момента пары такая же, как и размерность единицы момента силы – (в системе МКГСС) и (в системе СИ).

Докажем теперь следующую теорему: алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любой точки, лежащей в плоскости ее действия, не зависят от выбора этой точки и равна моменту пары.

Пусть на твердом теле действует пара сил . Опустим из произвольной точкиО перпендикуляр на линию действия сил пары (рисунок 50). Точки пересечения этого перпендикуляра с линиями действия сил пары обозначим через a и b. Тогда, так как ,и . Складывая эти равенства почленно и замечая, что , получим

,

где – момент данной пары. Этим и исчерпывается доказательство теоремы.