6.3. Зависимость между моментом силы относительно оси и моментом силы относительно точки, лежащей на этой оси

Пусть на тело действует приложенная в точке А сила (рисунок 93). Момент этой силы относительно точки О определится, как мы знаем, вектором , перпендикулярным к плоскости треугольника ОАВ и по модулю равному удвоенной его площади, т. е.

. (1)

Проведя через взятую на оси z точку О плоскость ху, перпендикулярную к этой оси, и проектируя на плоскость xy силу , найдем момент силы относительно точки О:

. (2)

Но треугольник представляет собой проекцию треугольникаОАВ на плоскость ху. По известной из геометрии теореме площадь проекции равна площади проектируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью этой фигуры и плоскостью проекции. Угол между плоскостями треугольников ОАВ и равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям, т. е. углу между вектором момента и осью z.

Поэтому получим, что

.

Подставляя это равенство в формулу (2), находим

. (3)

Проекция вектора-момента на ось z выразится так:

.

Подставляя в это равенство формулу (1), найдем

.

Сравнивая это равенство с формулой (3), получим

, (4)

т. е. моментом силы относительно оси z равен проекции на эту ось вектора-момента силы относительно произвольной точки О, лежащей на этой оси.