6.6 Момент пары как вектор

При рассмотрении пар, не лежащих в одной плоскости, для полной характеристики вращательного действия пары на тело указания только абсолютной величины момента и его знака недостаточно, так как вращательное действие пары на тело зависит еще и от направления в пространстве плоскости действия пары. Поэтому принятое в §14 определение момента пары следует дополнить указанием направления в пространстве плоскости действия пары. Последнее определяется, очевидно, направлением перпендикуляра к плоскости действия пары. Следовательно, в случае пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики вращательного действия на тело каждой из пар необходимо задать: 1) модуль момента пары; 2) направление перпендикуляра к плоскости действия пары и 3) направление вращения пары в ее плоскости. Это приводит к следующему определению момента пары:моментом пары называется вектор, модуль которого равен модулю момента пары, т. е. произведению модуля одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно к плоскости действия пары в ту сторону, откуда поворот тела данной парой виден происходящим против хода часовой стрелки (рисунок 96).

Момент пары, или вектор-момент пары, будем обозначать буквой m.Так как пару можно перемещать как угодно в ее плоскости действия и переносить из этой плоскости в любую другую плоскость, ей параллельную, то точка приложения вектора-момента m пары безразлична. Поэтому вектор-момент пары представляет собой свободный вектор. На рисунке 97 показано различное положение вектора –момента(,) пары.

Легко видеть, что вращательное действие пары на тело действительно определяется ее вектором-моментом , так как, проведя любую плоскость, перпендикулярную к, мы найдем плоскость действия пары, измерив в принятом масштабе длину вектора, определим модуль момента пары, а по направлениюустановим направление вращения тела данной парой.

Докажем, что вектор-момент пары (,) по модулю и направлению равен векторному произведению радиуса-вектора(рисунок 98) на ту из силэтой пары, к началу которой направлен радиус-вектор, т. е..

В самом деле,

,т. е. модуль векторного произведения равен модулю вектора -моментапары (,). При этом вектор, так же как и вектор-моментпары (,), направлен по перпендикуляру к плоскости действия пары (,) в ту сторону, откуда вращение пары (,) видно совершающимся против хода часовой стрелки. Следовательно,

, (1)что и требовалось доказать.

Очевидно, что по модулю вектор-момент пары (,) равен вектору-моменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая сила, т. е.; по направлению же векторы,исовпадают (рисунок 98). Таким образом, имеем

. (2)

Докажем теперь, чтовектор-момент пары равен геометрической сумме векторов-моментов сил, составляющих, эту пару, относительно произвольной точки О пространства.

Рассмотрим для этого в плоскости П (рисунок 99) силы и, образующие пару (,), и обозначим через ирадиусы-векторы точекА и В приложения этих сил.

Векторы-моменты сил и пары (,)относительно любой точки О пространства можно записать так:

.

Отсюда геометрическая сумма векторов-моментов сил данной пары относительно точки О будет

.

Мы видим, что эта геометрическая сумма векторов-моментов представляет вектор, не зависящий от выбора точки О.

Так как , то эта сумма принимает вид

,

где – вектор-момент рассматриваемой пары. Это и доказывает, что

.

Заметим, что проще всего вычислять вектор-момент пары (,) для точки, лежащей на линии действия одной из сил, составляющих пару. В самом деле, определим вектор-моментэтой пары, например для точкиА, лежащей на линии действия силы (рисунок 99). Тогда вектор-момент силыотносительно точкиА будет равен нулю, и нахождение вектора-момента пары (,) сведется к нахождению вектора-момента силыотносительно точкиА. Действительно,

, так как . Но , поэтому

,т. е. мы непосредственно приходит к формуле (1).