4.2. Приведение произвольной плоской системы сил к одной силе и к одной паре

Если линии действия сил данной системы расположены в одной плоскости произвольно, не пересекаются в одной точке и не параллельны между собой (но некоторые из них могут пересекаться в одной точке и могут быть параллельны между собой), то такая система сил называется произвольной плоской системой сил.

Пусть на твердое тело действует произвольная плоская система сил , , …,,приложенных соответственно в точках , , …,этого тела (рисунок 56, а). Возьмем в плоскости действие сил этой системы произвольную точку О, которую назовем центром приведения, и, пользуясь доказанной в § 17 теоремой, перенесем все заданные силы параллельно самим себе в точку О. При этом получим, что: 1) сила , приложенная в точке , эквивалентна силе , приложенной в точке О, и так называемой присоединенной паре с моментом , 2) сила , приложенная в точке , эквивалентна силе , приложенной в точке О, и присоединенной паре с моментом и т. д.

Таким образом, в результате приведения имеем систему сил:

, , …,, (1)

приложенных к произвольно выбранному центру приведения О (рисунок 56, б), и систему лежащих в одной плоскости присоединенных пар

, , …,,(2)

моменты которых соответственно будут равны

, , …,. (3)

Приведенные к точке О силы , , …, можно сложить по правилу силового многоугольника (геометрически) и, следовательно, заменить одной, эквивалентной им, силой , приложенной к той же точке О и равной их геометрической сумме , или, согласно равенствам (1),

. (4)

Все присоединенные пары (2) можно сложить по правилу сложения пар, лежащих в одной плоскости, и, следовательно, заменить их одной парой, расположенной в той же плоскости. Момент этой равнодействующей пары , или, согласно равенствам (3),

. (5)

Величина , равная геометрической сумме всех сил произвольной плоской системы сил (4), называется главным вектором этой системы.

Величина , равная алгебраической сумме моментов всех сил произвольной плоской системы сил относительно центра приведения О (5), называется главным моментом этой системы относительно центра приведения О.

В результате мы доказали следующую теорему: произвольную плоскую систему сил, действующую на твердое тело, в общем случае можно заменить одной силой, равной главному вектору системы и приложенной в произвольно выбранном центре приведения О, и одной парой с моментом, равным главному моменту системы относительно центра приведения О (рисунок 56, в).

Из этой теоремы видно, что две произвольные плоские системы сил для которых главные векторы и главные моменты одинаковы, эквивалентны. Таким образом, для задания произвольной плоской системы сил, действующей на твердое тело, достаточно задать ее главный вектор и главный момент относительно данного центра приведения О.

Модуль и направление главного вектора произвольной плоской системы сил можно найти или геометрически — построением силового многоугольника, или аналитически — по формулам для равнодействующей системы сходящихся сил (§ 2.3 и 2.4, 2.6):

; (6)

; . (7)

Модуль и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения О, так как все силы переносятся в центр приведения О параллельно самим себе, и, следовательно, силовой многоугольник будет при перемене места центра приведения одним и тем же. Чтобы подчеркнуть это свойство главного вектора, говорят, что главный вектор произвольной плоской системы сил инвариантен по отношению к центру приведения (=invar).

Величина и знак главного момента произвольной плоскости системы сил определяется по формуле (5). При изменении положения центра приведения величина и знак главного момента произвольной плоской системы сил изменяется в следствии изменения моментов сил этой системы относительно центра приведения. Следовательно в общем случае главный момент не инвариантен по отношению к центру приведения. Поэтому, когда говорят о главном моменте произвольной плоской системы сил, то всегда указывают, относительно какого центра приведения он вычислен.

Заметим, что принятие равнодействующей и главного вектора – это различные понятия и смешивать их нельзя. Главный вектор не является равнодействующей данной системы сил, так как он заменяет эту силу не один, а вместе с парой, момент которой равен главному моменту той же системы сил относительно выбранного центра приведения. Различие этих понятий заключается также и в том, что главный вектор может являться свободным вектором (т. е. его начало может быть выбрано где угодно), в то время как равнодействующая является скользящим вектором (т. е. имеет определенную линию действия). Кроме того, если главный вектор существует, то при этом равнодействующая может и не существовать.

Сходство понятий равнодействующей и главного вектора заключается в том, что если равнодействующая существует, то она геометрически равна главному вектору.